广东省深圳市南山区中科先进实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份广东省深圳市南山区中科先进实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
2.已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
3.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1.点P(−6,9)在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为( )
A. (−3,92)B. (−2,3)C. (−92,3)D. (−3,2)
5.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( )
A. 8B. 12C. 0.4D. 0.6
6.如图，嘉嘉在A时测得一棵4m高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为( )
A. 2mB. 2 5mC. 4mD. 4 2m
7.下面说法正确的是( )
A. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B. 对于反比例函数y=2x，y随x的增大而减小
C. 关于x的方程ax2+b=0是一元二次方程
D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
A. 16(1+x)2=23B. 23(1−x)2=16C. 16(1+2x)2=23D. 23(1−2x)2=16
9.如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画圆弧，交BC于点E，以E为圆心AE长为半径画圆弧与BC的延长线交于点F，连接AF分别与DE、DC交于点M、N，连接DF，下列结论中下列结论中错误的是( )
A. 四边形AEFD为菱形B. CN=CE
C. △CFN∽△DAND. △ABE≌△DCF
10.某学习小组用绘图软件绘制出了函数y=ax(x+b)2如图所示的图象，根据你学习函数的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是( )
A. a>0，b0，b>0
C. a0
D. a0)的图象与BC边交于点E，若S△AEF=16k时，则k= ______ ．
15.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，D是AB边上的中点，将△ACB绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段CD上的点E处，点B的对应点为F，边EF与边AB交于点G，则DG的长是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解下列方程：
(1)(x−3)2=4x(x−3)；
(2)x2+8x−9=0．
17.(本小题6分)
已知：▱ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+2m=0的两个实数根．
(1)当m为何值时，▱ABCD是菱形？
(2)若AB的长为3，求▱ABCD的周长．
18.(本小题8分)
某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x1时，y随a的增大而增大．
B.该函数的图象可能与坐标轴相交．
C.该函数图象关于直线y=a对称．
D.当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间．
22.(本小题10分)
某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形EFGH为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
(1)【初步尝试】：他们将矩形EFGH的顶点E、G分别在如图(1)所示的▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H恰好落在▱ABCD的对角线BD上，求证：BF=DH；
(2)【深入探究】：如图2，若▱ABCD为菱形，∠ABC=60°，若AE=ED，求S菱形ABCDS矩形EFGH的值；
(3)【拓展延伸】：如图(3)，若▱ABCD为矩形，AD=m，AB=n且AE=ED，请直接写出此时S矩形ABCDS矩形EFGH的值是______ (用含有m，n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从正面看，是一个正方形，正方形的内部右上角是一个小正方形，
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2.【答案】B
【解析】解：关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，
所以1+m+3=0
解得m=−4．
故选：B．
根据方程根的定义，将x=1代入方程，解出m的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
3.【答案】C
【解析】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换中的坐标变化，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】
解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P(−6,9)，
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为(−6×12,9×12)，即(−3,92)，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为20×0.6=12．
故选：B．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得CE⊥CF，CD=4m，FD=8m；
∵CE⊥CF，
∴∠ECF=90°，
∴∠ECD+∠DCF=90°，
∵CD⊥EF，
∴∠CDE=∠CDF=90°，
∴∠F+∠DCF=90°，
∴∠ECD=∠CFD，
∴Rt△CDE∽Rt△FDC，
∴EDCD=CDFD，即CD2=ED⋅FD，
代入数据可得42=8ED，
解得：ED=2(m)；
即B时的影长DE为2m．
故选：A．
根据题意，画出示意图，易得：Rt△CDE∽Rt△FDC，进而可得EDCD=CDFD，即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
本题考查相似三角形的应用．解题的关键是正确证明三角形相似，运用相似三角形的性质进行计算．
7.【答案】D
【解析】解：A.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以A选项不符合题意；
B.对于反比例函数y=2x，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以B选项不符合题意；
C.关于x的方程ax2+b=0，当a≠0时是一元二次方程，所以C选项不符合题意；
D.顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，所以D选项符合题意．
故选：D．
分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定判定即可．
本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定，熟练掌握这些知识点是关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23(1−x)2=16．
故选：B．
首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23(1−x)万元，5月份的售价为23(1−x)(1−x)=23(1−x)2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意知：EF=AE=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/EF，∠BCD=∠ABC=90°，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE=FE，
∴四边形AEFD是菱形，
故A不符合题意；
若CE=CN，
∵四边形AEFD是菱形，
∴FM⊥DE，
∴∠EDC+∠DEC=∠CFN+∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠CFN，
∵∠ECD=∠NCF=90°
∴△DEC≌△FNC(AAS)，
∴DC=CF，
但DC和CF不一定相等，
因此△DEC和△FNC不一定全等，
∴CE和CN不一定相等，
故B符合题意；
∵AD//CF，
∴△CFN∽△DAN，
故C不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠DCF=180°=90°=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°，
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE=DF，
∵AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故D不符合题意．
故选：B．
由矩形的性质推出AD/​/EF，∠BCD=∠ABC=90°，AB=CD，由作图得到EF=AE=AD，由菱形的判定，推出四边形AEFD是菱形，由△DEC和△FNC不一定全等，得到CE和CN不一定相等，由AD/​/CF，推出△CFN∽△DAN，由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由图象可知，当x>0时，y>0，
∴a>0；
当x=−b时，函数值不存在，
∴−b>0，
∴b0时，y>0，可知a>0；x=−b时，函数值不存在，则bPB)，BP=2cm，
∴BPAP= 5−12，
∴AP=( 5+1)cm，
故答案为：( 5+1)．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】2 33
【解析】解：由题意得，DE=1，BC=3，
在Rt△ABC中，∠A=60°，
则AB=BCtanA=3 3= 3，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，即13= 3−BD 3，
解得：BD=2 33，
故答案为：2 33．
根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
14.【答案】80
【解析】解：连接OF，
由题意得：S△OAF=12AF×OA=12k，
∵S△AEF=12AF×BE=16k，
∴BE=13OA，
∵OA=12，OC=10，
∴BE=4，
∴CE=8，
∴E(8,10)，
∴k=8×10=80．
故答案为：80．
连接OF，利用同底面积比等于高之比，得到点E坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
15.【答案】3 1026
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CD于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵∠BCA=90°，AC=1，CB=3，
∴BA= AC2+BC2= 10，
∵CD是BA边上的中线，
∴CD=AD=BD= 102，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠BCA=90°=∠CHA，
∴∠DCA+∠CAH=90°=∠DAC+∠B，
∴∠B=∠CAH，
∴sinB=sin∠CAH=CHAC=ACBA，
∴CH=AC⋅ACAB=1×1 10= 1010，
∵tanB=tan∠CAH=ACBC=CHAH=13，
∴AH=3CH=3 1010，
∵将△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，
∴CH=CE= 1010，∠AEH+∠DEN=90°，
∴DE=CD−CH−HE= 102− 1010− 1010=3 1010，
∵∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠DEN，
又∵∠AHE=∠DNE=90°，
∴△AEH∽△EDN，
∴AEDE=HEDN，
∴13 1010= 1010DN，
∴DN=310，
∵∠AEG=∠DNG，∠DGN=∠AGE，
∴△AGE∽△DGN，
∴DGAG=DNAG=3101=310，
∵AG+DG=AD= 102，
∴DG=3 1026，
故答案为：3 1026．
先证∠B=∠CAH，由锐角三角函数可求CH，AH的长，由旋转的性质可得AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，由等腰三角形的性质可得CH=HE，通过证明△AEH∽△EDN，可得AEDE=HEDN，可求DN的长，通过证明△AGE∽△DGN，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(x−3)2=4x(x−3)；
(x−3)2−4x(x−3)=0，
(x−3)(x−3−4x)=0，
x−3=0或x−3−4x=0，
所以x1=3，x2=−1；
(2)x2+8x−9=0，
(x+9)(x−1)=0，
x+9=0或x−1=0，
所以x1=−9，x2=1．
【解析】(1)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x−3−4x=0，然后解两个一次方程即可；
(2)利用因式分解法把方程转化为x+9=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解：(1)当AB=AD时，，▱ABCD是菱形，
即AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+2m=0的两个相等的实数根，
∴Δ=(−m)2−4×2m=0，
解得m1=0，m2=8，
∵AB+AD=m>0，AB⋅AD=2m>0，
∴m的值为8；
(2)∵AB=3，
∴3+AD=m，3AD=2m，
∴3+AD=32AD，
解得AD=6，
∴▱ABCD的周长=2(3+6)=18．
【解析】(1)根据菱形的判定得到AB=AD，再利用根的判别式的意义得到Δ=(−m)2−4×2m=0，解得m1=0，m2=8，然后根据根与系数的关系得到AB+AD=m>0，AB⋅AD=2m>0，从而确定m的值；
(2)利用根与的关系得到3+AD=m，3AD=2m，解方程组得到AD=6，然后根据平行四边形的性质求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
18.【答案】83 85 70
【解析】解：(1)a=(1×70+6×80+2×90+1×100)÷10=83．
将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为80分和90分，
∴b=(80+90)÷2=85．
由图2可知，乙组的众数为70，
∴c=70．
故答案为：83；85；70．
(2)500×2+1+3+220=200(人)．
∴估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人．
(3)由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为A，乙组满分人数为2人，分别记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为46=23．
(1)根据平均数的定义可求出a；根据中位数的定义可求出b；根据众数的定义可求出c．
(2)根据用样本估计总体，用500乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠DAF+∠AEM=90°，
∵∠AEM+∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AE=DF；
(2)解：∵AEED=13，
∴ED=3AE，
∴AD=4AE=8，
∴AE=2=DF，
∴CF=6，
∴BF= 82+62=10，
∵N是中点，∠BMF=90°，
∴MN=12BF=5．
【解析】(1)根据正方形的性质可得AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，结合AF⊥BE可得∠DAF=∠ABE即可得证；
(2)由题意知ED=3AE即可求出AE=2=DF，则CF=6，根据勾股定理即可求出BF，由N是中点可得MN=12BF即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
20.【答案】解：(1)设AB=x米，
∴BC=2AB=2x米，
根据题意，得2x+x+x=120，
解得x=30，
∴AB=30米，BC=60米，
答：长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米；
(2)设网红打卡点的边长为m米，
根据题意，得(60−m)⋅14m+m2=60×30−1728，
解得m1=4，m2=−24(舍去)，
∴网红打卡点的面积为4×4=16(平方米)，
答：网红打卡点的面积为16平方米．
【解析】(1)设AB=x米，根据三边所用木栏总长120米，列方程求解即可；
(2)设网红打卡点的边长为m米，根据空白的面积=长方形花圃的面积−花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21.【答案】3037 612 D
【解析】解：(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，如图，
设DE=x，则DG=MN=x．
∵S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，
∴12×1.5×BC=1.5，
∴BC=2m．
∴AC= AB2+BC2=2.5m．
∴12×AC×BN=1.5，
∴BN=1.2m．
∴BM=BN−MN=(1.2−x)m，
∵DE/​/AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BMBN．
∴x2.5=1.2−x1.2，
∴x=3037．
故答案为：3037；
(2)①当a=12时，
y=12+312=12+6=612．
故答案为：612；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象：
②由图象知：当a>1时，y随a的增大而增大，
∴A选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不可能与坐标轴相交，
∴B选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不是轴对称图形，
∴C选项的结论不正确；
由图象知：当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间，
∴D选项的结论正确．
故答案为：D．
(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)将a值代入运算即可；
(3)画出函数的图象，结合函数的图象回答即可．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，描点法化出函数的图象，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】2 m2+n2n
【解析】(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH/​/FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°−∠GFH，∠DHE=180°−∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
∠BFG=∠DHE∠GBF=∠EDHFG=EH，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BF=DH；
(2)解：如图2，连接EG交BD于点O，过点E作EH⊥BD于N，连接AO，
设AB=2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=2a，∠ADB=∠ABD=30°，
∴AE=DE=a，
∵EN⊥BD，∠ADB=30°，
∴EN=12a，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EO=FO=HO=GO，
∵BF=DH，
∴BF+FO=DH+HO，
∴BO=DO，
∴EO=12AB=a，
∴EG=2EO=2a=FH，
∵AB=AD，BO=DO，
∴AO⊥BD，
又∵∠ADB=30°，
∴AD=2AO，DO= 3AO，
∴AO=a，DO= 3a，BD=2DO=2 3a，
∵S△ABD=12×BD⋅AO=12×2 3a⋅a= 3a2，S△EFH=12×FH⋅EN=12⋅2a⋅12a=12a2，
∴S菱形ABCDS矩形EFGH=2S△ABD2S△EFH=2 3；
(3)解：连接EG交BD于点O，过点E作EH⊥BD于N，
同理可得：EO=12AB=12n，AE=ED=12m，
∵AD=m，AB=n，
∴BD= m2+n2，
∵sin∠ADB=ABBD=ENDE，
∴n m2+n2=EN12m，
∴EN=mn2 m2+n2，
∵S△ABD=12×BA⋅AD=12mn，S△EFH=12×FH⋅EN=12⋅n⋅mn2 m2+n2，
∴S矩形ABCDS矩形EFGH=2S△ABD2S△EFH=2 m2+n2n，
故答案为：2 m2+n2n．
(1)由“AAS”可证△BGF≌△DEH，可得BF=DH；
(2)由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出FH，EN，BD，AO的长，即可求解；
(3)用m，n表示FH，EN，BD的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
a
…
14
13
12
1
32
2
3
4
…
y
…
1214
913
m
4
312
312
4
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