第43练 离散型随机变量的分布列、均值、方差（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A选择性必修三P60习题7.2T2变式）（多选）已知随机变量的分布列为
则（ ）A．B．
C．D．
2. （人A选择性必修三P71习题7.3T1变式）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
3. （人A选择性必修三P71习题7.3T5变式）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件与互斥，则
B．若事件与相互独立，则
C．如果分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量的方差，则
4. （人A选择性必修三P60习题7.2T6变式）校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．
(1)求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；
(2)设甲教师参加测试的次数为m，乙教师参加测试的次数为n，求的分布列．
二、考点分类练
(一)离散型随机变量的分布列
5. 已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）A．B．C．D．
6. 下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
7. （2023届湖南省株洲市部分学校高三上学期12月联考）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十式进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
8. （2023届江苏省南通市高三上学期12月阶段测试）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.
(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；
(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.
(二) 离散型随机变量的期望与方差
9．已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
10. 一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______.
11.（2023届陕西省宝鸡市高三上学期一模） 甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立.
(1)求甲队仅比赛3场获胜的概率；
(2)已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和的分布列及期望.
(三)期望与方差的应用
12. （2023届河南省洛阳市孟津县高三上学期12月月考）自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)估计该市外卖员的平均运送距离；
(2)假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？
13. （2023届湖北省腾云联盟高三上学期12月联考）为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同､编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号､2号､3号箱分别可得3分､4分､5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩.
(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；
(2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中1号､2号､3号箱的概率依次为.已知选手每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.
（i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱？
（ii）假设选手得了23分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率.
(四)超几何分布
14.（2023届四川省成都市高新区高三一诊） 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？
(2)若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩墩，记为抽取的2人中男生人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
15. （2023届重庆市好教育联盟高三上学期12月调研）现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：
(1)根据表中调查数据，并依据的独立性检验，能否认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关？
(2)若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为，求的分布列与期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
三、最新模拟练
16．（2023届浙江省温州市高三上学期11月适应性考试）一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（ ）
A．3.8分B．4分C．4.2分D．4.4分
17.（2023届浙江省新高考研究高三上学期测试） 互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A．B．
C．D．
18. （2023届山西省英才学校高中部高三上学期12月测试）已知随机变量的分布列为：
若，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
19. （多选）（2023届浙江省9 1高中联盟高三上学期11月期中联考）已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（ ）
A．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为
B．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为
C．每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
20. （2023届福建省南平市高三上学期期中）从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．
21. （2023届山东省潍坊市高三上学期12月学科核心素养测评）边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝对值作为随机变量X，则其数学期望_________．
22. （2023届湖南省长沙市高三上学期12月月考）全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数；
(2)在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望；
23. （2023届西南3 3 3高考备考诊断性联考）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.
24. （2023届重庆市高三上学期第四次质量检测）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．
(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．
四、高考真题练
25．(2022高考全国甲卷) 甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局．三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望．
26．(2021新高考全国Ⅰ卷) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
五、综合提升练
27. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ）
A．B．
C．5D．
28.（2022届辽宁省高三二轮复习联考） 甲､乙两人进行局羽毛球比赛(无平局)，每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则( )
A．B．C．D．单调递增
29. （2023届广东省东莞市高三上学期月考）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
30. （2023届湖南省长沙市高三上学期月考）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．
(1)证明：在的概率分布中，最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．1
2
3
0.3
X
3
4
5
6
P
X
0
a
2
P
b
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
合计
男生
160
80
240
女生
120
40
160
合计
280
120
400
喜欢
其他
合计
男
10
20
30
女
40
30
70
合计
50
50
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828