湖南省株洲市石峰区2023-2024学年上学期期末九年级数学质量检测冲刺试题卷

这是一份湖南省株洲市石峰区2023-2024学年上学期期末九年级数学质量检测冲刺试题卷，共18页。试卷主要包含了2cs60°的值等于，代数式x2﹣4x+5的最小值为，若点P，一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．2cs60°的值等于（ ）
A．B．1C．D．
2．代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．若点P（1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．B．3C．D．﹣3
5．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
7．某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．100（1﹣2x）2＝80D．80（1﹣2x）2＝100
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（ ）
A．B．C．D．12
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题）
11．若，则＝ ．
12．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是 ．
13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 cm2．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则四边形DBCE的面积是 ．
15．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m，则坡面AB的长度是 米．
16．如图，为了测量古塔的高，小明在点A测得看古塔顶点C处的仰角为30°，然后向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°，A、B、D在同一直线上，那么古塔CD的高是 米．（≈1.414，≈1.732，结果保留一位小数）
17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 （填序号）．
三．解答题（共9小题）
19．（1）解方程：x2+3x﹣4＝0． （2） 计算：|2﹣π|．

20．21．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1和x2，，求m的值．
23．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价可定为多少元？
（2）商场采取涨价措施后，每天能盈利15000元吗？为什么？
（3）台灯的售价定为多少元时利润最大，最大利润多少？
24．我们约定：若关于x的整式A＝a1x2+b1x+c1与B＝a2x2+b2x+c2同时满足：+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称整式A与整式B互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的整式A＝2x2+kx+3与B＝mx2+x+n互为“美美与共”整式，求k，m，n的值；
（2）若关于x的整式M＝（x+a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M与N互为“美美与共”整式，且x+a是x3﹣3x+c的一个因式，求a﹣b+c的值；
（3）若（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，且关于y的方程﹣3的解为正整数，求P＝rx2+tx+s的“美美与共”整式Q，并求出Q的最小值．
25．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别是∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
26．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请直接写出点G的坐标．
湖南省株洲市石峰区2023年下学期期末九年级数学质量检测冲刺试题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．2cs60°的值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：2cs60°＝2×＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】通过配方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4﹣4+5
＝（x﹣2）2+1
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】把x＝1代入方程x2+mx＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx＝0得：1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
4．若点P（1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．B．3C．D．﹣3
【答案】B
【分析】点P（1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则点的坐标一定满足解析式，代入就得到k的值．
【解答】解：因为点P（1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
所以3＝．
解得：k＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．
5．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝×2＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
6．一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
【答案】C
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
可得x﹣6＝0或x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
7．某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．100（1﹣2x）2＝80D．80（1﹣2x）2＝100
【答案】B
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是100（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为80元，”可得方程100（1﹣x）2＝80．
【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2＝80，
故选：B．
【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可求得tanA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴tanA＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，掌握tanA＝（a为∠A的对边，b为∠A的邻边）是关键．
9．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（ ）
A．B．C．D．12
【答案】C
【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴＝k，∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，
∴k＝，
故选：C．
【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．若，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
12．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是 （0，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当x＝0时y的值，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2，当x＝0时，y＝﹣1+2＝1，
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，1）；
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点；求出二次函数当x＝0时y的值是解题的关键．
13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 27 cm2．
【答案】27．
【分析】设△A′B′C′的面积为S cm2，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设△A′B′C′的面积为S cm2，
∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，
∴12：S＝9：4，
解得S＝27cm2．
故答案为：27．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则四边形DBCE的面积是 10 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，由△ADE的面积是8，得到△ABC的面积＝18，即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵△ADE的面积是8，
∴△ABC的面积＝18，
∴四边形DBCE的面积是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
15．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m，则坡面AB的长度是 6 米．
【答案】6．
【分析】由坡度的定义求出BC的长，再由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，
∴＝，
∴BC＝AC＝×3＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝6（m），
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．
16．如图，为了测量古塔的高，小明在点A测得看古塔顶点C处的仰角为30°，然后向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°，A、B、D在同一直线上，那么古塔CD的高是 34.6 米．（≈1.414，≈1.732，结果保留一位小数）
【答案】34.6．
【分析】根据题意可得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠A＝∠ACB＝30°，从而可得AB＝BC＝40米，最后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝40米，
在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝40×＝20≈34.6（米），
∴古塔CD的高约为34.6米，
故答案为：34.6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 60° ．
【答案】60°．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝3，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝3，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 ②③ （填序号）．
【答案】②③．
【分析】由正方形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，设AB＝BC＝CD＝AD＝m，则BE＝EC＝m，CF＝m，所以DF＝m，由tan∠BAE＝＝，可知∠BAE≠30°，可判断①错误；再证明＝＝2，则△ABE∽△ECF，可判断②正确；因为∠BAE＝∠CEF，所以∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，则∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，可判断③正确；由＝2，＝3，得≠，则△ADF与△ECF不相似，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
设AB＝BC＝CD＝AD＝m，
∵E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，
∴BE＝EC＝m，CF＝m，
∴DF＝CD﹣CF＝m﹣m＝m，
∵tan∠BAE＝＝＝，而tan30°＝，
∴∠BAE≠30°，
故①错误；
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，
∴△ABE∽△ECF，
故②正确；
∴∠BAE＝∠CEF，
∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥EF，
故③正确；
∵＝＝2，＝＝3，
∴≠，
∴△ADF与△ECF不相似，
故④错误，
故答案为：②③．
【点评】此题重点考查正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，此外，还可以通过计算证明AE2+EF2＝AF2，根据勾股定理的逆定理证明∠AEF＝90°，从而证明AE⊥EF．
三．解答题（共9小题）
19．配方法解：x2+3x﹣4＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，把方程左边配成完全平方式，最后用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：x2+3x﹣4＝0
x2+3x＝4
x2+3x+＝4+
＝
∴x+＝±
所以x1＝1，x2＝﹣4．
【点评】掌握配方法，它是我们常用的数学思想方法．熟练运用它解一元二次方程．配方法一个重要环节就是配一次项系数一半的平方．
20．计算：|2﹣π|．
【答案】π．
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式＝π﹣2+2﹣1+×
＝π﹣2+2﹣1+1
＝π．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
21．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）9．
【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1和x2，，求m的值．
【答案】（1）m≤1且m≠0；（2）m＝﹣1．
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，m≠0，
即（﹣2）2﹣4m≥0，m≠0，
解得m≤1且m≠0；
（2）根据题意，得，，
∵，
∴，
解得m1＝﹣1，m2＝5，
经检验得，m＝﹣1是分式方程的解，且符合题意；m＝5是分式方程的解，但不符合题意．
故m＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键．
23．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价可定为多少元？
（2）商场采取涨价措施后，每天能盈利15000元吗？为什么？
（3）台灯的售价定为多少元时利润最大，最大利润多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设这种台灯上涨了x元，台灯将少售出10x，那么利润为（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，解方程即可；
（2）根据题意列方程，根据Δ＜0，判断即可；
（3）根据销售利润＝每个台灯的利润×销售量，每个台灯的利润＝售价﹣进价，关键是用售价x表示销售量．列出二次函数，用二次函数的性质，求最大值．
【解答】解：（1）设这种台灯上涨了x元，
根据题意得（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得，x2﹣50x+400＝0，
解得：x＝40或x＝10，
40+40＝80或40+10＝50（元），
答：这种台灯的售价应定为80元或50元；
（2）每天不能盈利15000元，
理由：假设能盈利15000元，于是得到（40+x﹣30）（600﹣10x）＝15000，
整理得，x2﹣50x+900＝0，
∵Δ＝2500﹣3600＜0，
∴此方程无实数根，
∴每天不能盈利15000元；
（3）设台灯的售价为x元，利润为y元，依题意：
y＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，
∴y＝﹣10x2+1300x﹣30000，
∵对称轴x＝65，在对称轴的左侧y随着x的增大而减小，
∴当x＝65时，
y最大＝12250元，
答：台灯的售价定为65元时利润最大，最大利润为12250元．
【点评】此题考查一元二次方程和二次函数的实际运用，通过由实际问题﹣﹣一元二次方程（二次函数）﹣﹣实际问题，三个阶段的探究，使学生体会到数学的运用价值，能提高学习兴趣．
24．我们约定：若关于x的整式A＝a1x2+b1x+c1与B＝a2x2+b2x+c2同时满足：+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称整式A与整式B互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的整式A＝2x2+kx+3与B＝mx2+x+n互为“美美与共”整式，求k，m，n的值；
（2）若关于x的整式M＝（x+a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M与N互为“美美与共”整式，且x+a是x3﹣3x+c的一个因式，求a﹣b+c的值；
（3）若（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，且关于y的方程﹣3的解为正整数，求P＝rx2+tx+s的“美美与共”整式Q，并求出Q的最小值．
【答案】（1）n＝2，k＝﹣1，m＝3；
（2）a﹣b+c＝﹣2；
（3）当t＝3时，Q的最小值为；t＝﹣1时，Q的最小值为．
【分析】（1）求出各参数的数量关系，通过A与B是“美美与共”整式，求出k，m，n的值；
（2）通过N与N是“美美与共”整式，求出a和b的值，再通过x+a是x3﹣3x+c的一个因式求出c的值，从而得到a﹣b+c；
（3）通过整理（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2求出r与s的值，通过得到t的值以后分情况求出Q的最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴a2﹣c1＝0，b2+b1＝0，c2﹣a1＝0，
∴a2＝c1，b1+b2＝0，a1＝c2，
∵，
∴b1≠b2，
∵A＝2x2+kx+3与B＝mx2+x+n互为“美美与共”整式，
∴2＝n，k+1＝0，3＝m，
∴n＝2，k＝﹣1，m＝3；
（2）由M＝（x+a）2，得M＝x2+2ax+a2，
∵M与N互为“美美与共”整式，
∴1＝b，2a+（﹣2）＝0，a2＝1，
∴a＝1，b＝1，
由x+a是x3﹣3x+c的一个因式，
设另一个因式为x2+dx+e，
∴（x+1）（x2+dx+e）＝x3﹣3x+c，
整理得x3+（d+1）x2+（e+d）x+e＝x3﹣3x+c，
得d＝﹣1，e＝﹣2，c＝﹣2，
∴a﹣b+c＝﹣2；
（3）由（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，
整理得x4+10x3+35x2+50x+25＝x4+2rx3+（2s+r2）x2+2rsx+s2，
得r＝5，s＝5，
由，解得，
∵y是正整数，
∴t＝3或﹣1，
当t＝3时，P＝5x2+3x+5，
此时Q＝5x2﹣3x+5，
整理得，此时Q的最小值为，
当t＝﹣1时，P＝5x2﹣x+5，
此时Q＝5x2+x+5，
整理得，此时Q的最小值为．
【点评】本题考查二次根式、平方和绝对值的非负性，整式的乘法以及通过配方法求式子的最值．
25．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别是∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A到河岸E的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】（1）山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）河宽EF的长度约53.3m．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据AB的坡度求出AC，在Rt△BCE中，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：（1）∵AB的坡度i＝1：0.7，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝56，
∵∠BEC＝∠DBE＝45°，BC＝80m，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80（m），
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A到河岸E的距离为24m；
（2）∵BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴≈0.6，
∴CF≈133.33（m），
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF的长度约53.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
26．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，
即点D（0，2），
把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，
m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，
因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×3×4+×3×2，
＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请直接写出点G的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）；
（3）点G的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）．
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点Q的坐标；
（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求OF的长，可求点F坐标，可得BF解析式，联立方程组可求点G坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3①；
（2）存在，理由：
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴点E（1，2），
如图，过点E作EQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QPB与△PEB的面积相等，
由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝﹣2（x﹣3），
则直线QE的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
联立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2，
则点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）；
对于直线QE，设QE交x轴于点R，
令y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即点R（2，0），
则BR＝3﹣2＝1，
取点R′使BR＝BR′，过点R′作PB的平行线l，如图，则点R′（4，0），
则直线l的表达式为：y＝﹣2（x﹣4），
联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
则Δ＝16﹣20＜0，无解，
故在点B的右侧不存在点Q，
综上，点Q的坐标为（2﹣，2）或（2+，﹣2）；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
若点G在直线AB的上方时，
∵PH⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠HEB＝45°，
∴∠PBE+∠BPE＝45°，
∵∠GBA+∠PBE＝45°，
∴∠BPE＝∠GBA，
∴tan∠BPH＝tan∠GBA＝，
即，
∴OF＝，
∴点F（0，），
∴直线BF解析式为：y＝﹣x+③，
联立①③得：﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：，
∴点G的坐标为（﹣，）；
若点G在直线AB的下方时，
由对称性可得：点F'（0，﹣），
∴直线BF解析式为：y＝x﹣④，
联立①④得：﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：，
∴点G'的坐标为（﹣，﹣），
综上所述：点G的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键．
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