绵阳南山中学实验学校2023届高三下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023届高三下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,为单位向量,当它们的夹角为时,在方向上的投影为( )
A.B.4C.D.
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：）是( )
A.6B.7C.18D.9
4．记为等差数列的前n项和.若,,则( )
A.3B.7C.11D.15
5．将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则的值可以是( )
A.B.C.D.
6．小陈和小李是某公司的两名员工,在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和,且两人同时加班的概率为,则某个工作日,在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为( )
A.B.C.D.
7．点P在圆上,,,则最小时,( )
A.8B.6C.4D.2
8．已知,设函数,若关于x的不等式在上恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
9．已知双曲线的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的右支、渐近线分别交于点A,B,且（O为坐标原点）,,则双曲线的离心率( )
A.B.C.D.4
10．已知四棱锥的体积是,底面ABCD是正方形,是等边三角形,平面PAB平面ABCD,则四棱锥外接球表面积为( )
A.B.C.D.
11．定义：若函数在上存在,()满足则称,为上的“对望数”,这样的函数称为“对望函数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论不正确的是( )
A.函数在任意区间上都不可能是“对望函数”
B.函数是上的“对望函数”
C.函数是上的“对望函数”
D.若函数为上的“对望函数”,则在上单调
12．过抛物线的对称轴上的定点,作直线AB与抛物线相交于A、B两点.若点N是定直线上的任一点,设这三条直线AN、MN、BN的斜率依次为,,,则下列关系式正确的是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知复数z满足,i为虚数单位,则______.
14．设X为随机变量且,若随机变量X的数学期望,则等于______.
15．南宋数学家在《解析：九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为______.
16．定义在R上的函数与的导函数分别为和,若,,且为奇函数,则下列正确的是______.（填序号）
①.②函数关于对称.③函数是周期函数.④.
三、解答题
17．近些年来,短视频社交软件日益受到追捧,用户可以通过软件选择歌曲,拍摄音乐短视频,创作自己的作品.某用户对自己发布的短视频个数x与收到的点赞数之和y之间的关系进行了分析研究,得到如下数据：
（1）计算x,y的相关系数r,并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？（若,则线性相关程度一般;若,则线性相关程度较高.计算r时精确度为0.01）
（2）求出y关于x的线性回归方程.
参考数据：.附：相关系数公式：,,截距.
18．已知函数.其图像上相邻的两个对称中心之间的距离为.
（1）求函数的解析式;
（2）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,.若角A的平分线AD交BC于D,求AD的长.
19．三棱台的底面是正三角形,平面ABC,,,,E是AB的中点,平面交平面ABC于直线l.
（1）求证：;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知椭圆过点,且.
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线于点P,Q.求的值.
21．已知函数在区间内有唯一极值点.
（1）求实数a的取值范围;
（2）证明：在区间内有唯一零点,且.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（为参数）,曲线的方程为,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和的极坐标方程;
（2）已知射线与曲线交于O、A两点,将射线绕极点逆时针方向旋转得到射线,射线与曲线交于O、B两点,当取何值时,的面积最大,并求面积的最大值.
23．设函数
（1）求函数的最小值及取得最小值时x的取值范围;
（2）若集合,求实数a的取值范围
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以,所以,
故选：A
2．答案：B
解析：,为单位向量,且,由平面向量的投影定义得,
在方向上的投影为4.
故选：B.
3．答案：C
解析：由三视图可知,该几何体是一个底面为等腰梯形（上底为1,下底为3,高为3）,高为3的直四棱柱,所以该几何体的体积为.
故选：C.
4．答案：D
解析：设等差数列的公差为d,
由,得,解得,
.
故选：D.
5．答案：D
解析：函数的图象向左平移个单位长度后,
得到函数的解析式为：,
于是有,解得,
针对四个选项中的四个角都是正角且小于,所以令,得,
故选：D.
6．答案：C
解析：记“小李加班”为事件A,“小陈加班”为事件B,则,,,
故在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为.
故选：C.
7．答案：C
解析：
如图所示,由题意圆的圆心,半径,
当直线PB与圆C相切时,即P为切点时,最小,此时PB与x轴平行,,.
故选：C.
8．答案：D
解析：当时,的开口向上且对称轴,
此时,要使,则;
当时,显然时恒成立,即在上递增,
所以,满足题设;
若,则上,即递减,上,即递增;
所以,要使,则,即,
所以;综上,a的取值范围为.
故选：D.
9．答案：A
解析：设双曲线的半焦距为.不妨取,则,
因为,所以l的方程为,联立,得,即.
因为,所以A为BF的中点,所以,代入双曲线方程,
得,整理得,所以.
故选：A.
10．答案：C
解析：
设正方形ABCD的边长为2x,在等边三角形PAB中,过P点作于E,
由于平面PAB平面ABCD,PE平面ABCD.
由于是等边三角形,则,,解得.
设四棱锥外接球的半径为R,为正方形ABCD中心,为等边三角形PAB中心,
O为四棱锥P－ABCD外接球球心,则易知为矩形,
则,,
,外接球表面积.
故选：C.
11．答案：D
解析：A选项,单调递增函数,
故在区间上不可能存在,,,满足,
故函数在任意区间上都不可能是“对望函数”,A正确;
B选项,,,
令,解得,,
又,所以函数是上的“对望函数”,B正确;
C选项,,,令,解得,
因为在上单调递减,在上单调递增,
画出函数图象如下：
可知存在,使得,
所以函数是上的“对望函数”,C正确;
D选项,函数为上的“对望函数”,则在上必有两个不相等的实根,
则函数在上不单调,D错误.
故选：D.
12．答案：B
解析：设,,,直线AB的方程为：,
将直线AB的方程与联立,,消去x得,
由根与系数关系可得.又,,
又,,即.
故选：B.
13．答案：
解析：,
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意,知,得,即,那么.
故答案为：.
15．答案：191
解析：高阶等差数列：1,2,4,7,11,16,22,,
令,则数列：1,2,3,4,5,6,,
则数列为等差数列,首项,公差,,则
则
,
故答案为：191
16．答案：①③④
解析：因为为奇函数,所以,
令,可得,即,故①正确;
因为,所以,所以,
又,所以,
所以,即,
所以函数的图象关于点对称,故②错,
因为,所以,所以,c为常数,
因为,所以,所以,
取,可得.所以,
由,得,
所以,即,
所以,所以函数是周期函数,且周期为4,
又,即,
所以函数也是以4周期得周期函数,故③正确;
因为,,
所以,即,
所以,则,
所以,
,故④正确.
故答案为：①③④.
17．答案：（1）,发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度
（2）
解析：（1）,,
所以,,,
.
发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度.
（2）,
,y关于x的线性回归方程为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
设函数的周期为T,由题意,
因为解得,所以
（2）由得：,即,,解得,,
因为,所以,因为角A的平分线AD交BC于D,
所以,即,可得,
由余弦定理得：,而,
所以,得,所以,所以
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在三棱台中,,
又AC平面,平面,则AC//平面,
又AC平面ABC,平面ABC平面,所以.
（2）因为平面ABC,在平面ABC内作,
以A为原点,AC,分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,
设平面的一个法向量为,则,
令,则,设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（Ⅰ）;
（Ⅱ）1.
解析：(Ⅰ)设椭圆方程为：,由题意可得,解得,
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)设,,直线MN的方程为：,
与椭圆方程联立可得,
即,则,,
直线MA的方程为,
令可得,
同理可得：.
很明显,且,注意到,
,
而
,
故,.从而.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）,当时,,,
①当时,,在上单调递增,没有极值点,不合题意,舍去;
②当时,显然在上递增,又因为,,
所以在上有唯一零点,所以,;,,
所以在上有唯一极值点,符合题意.综上,.
（2）由（1）知,所以时,,
所以,,单调递减;
,,单调递增,所以时,,
则,又因为,
所以在上有唯一零点,即在上有唯一零点.
因为,
由（1）知,所以,则,
构造,所以,
记,则,显然在上单调递增,
所以,所以在上单调递增,所以,
所以,所以在上单调递增,所以,
所以,由前面讨论可知：,,
且在单调递增,所以.
22．答案：（1）,
（2）时,的面积取最大值为
解析：（1）曲线的参数方程为（为参数）,
转换为直角坐标方程为,即,转换为极坐标方程为,
曲线的方程为,即,转换为极坐标方程为.
（2）已知射线与曲线交于O、A两点,
设点A的极坐标为,则,
射线绕极点逆时针方向旋转得到射线,射线与曲线交于O、B两点.
设点B的极坐标为,则,
所以,
,
,则,
所以,当时,即时,的最大值为.
23．答案：（1）最小值为3,
（2）
解析：（1）因为,
当且仅当,即时,上式等号成立,
故函数的最小值为3,且取得最小值时x的取值范围是.
（2）因为,所以,,
由函数
令,其图像为过点,斜率为的一条直线.
如图所示,点,,则直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,
因为,所以,即,所以a的取值范围为.
x
3
4
5
6
7
y
45
50
60
65
70