河南省实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份河南省实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．D．x2﹣4＝0
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）九年级某班要承担下周一的升国旗活动，要在平时朗诵和主持基本功较好的A、B、C、D、E五位同学中，随机选拔两位同学主持升旗仪式，恰好是A、B两位同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
5．（3分）已知，则k＝（ ）
A．1B．±1C．1或﹣2D．2
6．（3分）若点A（x1，1），B（x2，﹣5），C（x3，3）均在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜x2＜x1B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x1＜x2＜x3
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，若AM＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．6B．8C．D．8
8．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
9．（3分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（ ）
A．B．C．D．2
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：tan60°﹣sin60°＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，则k的非负整数值是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是 ．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN＝ ．
15．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝7，点D为AB边上一点，且AD＝3，点E为BC边上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE，当△B'DE的一边过点A时，BE的长为 ．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
17．（9分）在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x＜100；其中D等级为优秀），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生成绩在C组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89
抽取的八年级学生成绩在B、C组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86
七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ b＝ ，m＝
（2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）延长ED交BA的延长线于点F．若∠F＝30°，AB＝8，则BE的长为 ．
19．（9分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为3m的观景台DE，已知∠DCE＝30°，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．求塔AB的高度．【参考数据：tan27°＝0.5，】．
20．（9分）如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3n，n）和（m，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式x﹣2＜的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
21．（9分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2，点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求出抛物线的对称轴和解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，求出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
23．（10分）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G．
数学思考：（1）线段BF和CG的数量关系 ；
问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求的值；
问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积．
2023-2024学年河南省实验中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．D．x2﹣4＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0（a≠0），是一元二次方程，故A不符合题意；
B、+3y+4＝0，是二元一次方程，故B不符合题意；
C、，是分式方程，故C不符合题意；
D、x2﹣4＝0，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得．
【解答】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3．（3分）九年级某班要承担下周一的升国旗活动，要在平时朗诵和主持基本功较好的A、B、C、D、E五位同学中，随机选拔两位同学主持升旗仪式，恰好是A、B两位同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两位同学的结果数有2种，
∴恰好选中A、B两位同学的概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
4．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．
【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（3分）已知，则k＝（ ）
A．1B．±1C．1或﹣2D．2
【分析】分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，代入k＝计算得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，根据等比性质，
得k＝＝1；
②当a+b+c＝0时，
则a+b＝﹣c，k＝＝﹣2．
综上所述，k的值为1或﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质：若＝＝•••＝＝k，则＝k（b+d+•••+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．进行分类讨论是解题的关键．
6．（3分）若点A（x1，1），B（x2，﹣5），C（x3，3）均在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜x2＜x1B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x1＜x2＜x3
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，1），B（x2，﹣5），C（x3，3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，
∴点A（x1，1），C（x3，3）在第二象限，B（x2，﹣5）在第四象限，
∴x1＜x3＜x2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，若AM＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．6B．8C．D．8
【分析】由菱形的性质得AB＝CB，AC⊥BD，而∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，∠CAM＝∠BAC＝30°，则OM＝AM＝1，由勾股定理得OA＝＝，则OB＝OA•tan60°＝3，所以AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝6，即可求得S菱形ABCD＝×2×6＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝CB，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC是等边三角形，∠AOB＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AM平分∠BAC，AM＝2，
∴∠CAM＝∠BAM＝∠BAC＝30°，
∴OM＝AM＝1，
∵OA＝＝＝，
∴OB＝OA•tan60°＝×＝3，
∴AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝6，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×6＝6，
故选：C．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、菱形的面积等知识，求得∠CAM＝∠BAC＝30°及OM＝1是解题的关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【分析】利用位似变换以及相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：由题意A（﹣4，2），OA′＝AA′，
∴A′（﹣2，1），
根据对称性A′的坐标也可以为（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
9．（3分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由已知易得四边形ADFE是正方形，进而利用轴对称的性质得当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b，此时AP1＝a，BD＝b，最后利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算出a的值．
【解答】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝2
∴易证四边形ADFE是正方形
∴点E关于EF的对称点是点D
∴PE＝PD
∴y＝PE+PB＝PD+PB
∴当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b
连接BD交于点P1，此时AP1＝a，BD＝b，如图：
∵AB∥CD
∴
∴AP1＝AF＝×＝
即a＝
故选：B．
【点评】本题是动点问题的函数图象问题，综合考查了矩形和正方形的性质，相似三角形，勾股定理，解题思想上要注意数形结合的运用．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
【分析】依据题意，由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x＝1时，y＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，加上x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0．
∴ab＜0，故①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
∴②正确．
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：tan60°﹣sin60°＝ ．
【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣＝（1﹣）＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，则k的非负整数值是 1 ．
【分析】由一元二次方程有实数根，则Δ≥0，列不等式，即可得到答案．
【解答】解：∵kx2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
∵方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8k≥0，
解得，
∴k的非负整数值是1，
故答案为：1．
【点评】此题考查一元二次方程的根的实际应用，解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是 ﹣2 ．
【分析】设B（a，），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出A点的坐标，求出AB＝a﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．
【解答】解：设B（a，），
∵四边形OBAD是平行四边形，
∴AB∥DO，
∴A（，），
∴AB＝a﹣，
∵平行四边形OBAD的面积是5，
∴（a﹣）＝5，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN＝ ．
【分析】作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图，先证明四边形BCFE为矩形得到EF＝BC＝4，先根据平行线分线段成比例定理得到＝＝＝，则MH＝，DH＝DF，同理可得NQ＝2，CQ＝CF，所以HQ＝CD＝2，易得四边形MKQH为矩形，则KQ＝MH＝，MK＝HQ＝2，然后在Rt△MNK中利用勾股定理计算MN的长．
【解答】解：作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝4，
∵EF∥BC，
∴EF⊥CD，
∴四边形BCFE为矩形，
∴EF＝BC＝4，
∴MH∥EF，NQ∥EF，
∵MH∥GF，
∵＝＝，M点为DG的中点，
∴MH＝GF＝，DH＝DF，
同理可得NQ＝EF＝2，CQ＝CF，
∴HQ＝（DF+CF）＝CD＝2，
易得四边形MKQH为矩形，
∴KQ＝MH＝，MK＝HQ＝2，
∴NK＝NQ﹣KQ＝2﹣＝
在Rt△MNK中，MN＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质．
15．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝7，点D为AB边上一点，且AD＝3，点E为BC边上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE，当△B'DE的一边过点A时，BE的长为 4或8﹣4 ．
【分析】当B'E过点A时，利用面积判断出＝，设AE＝3x，则BE＝4x，表示出BF＝EF＝2x，AF＝7﹣2x，根据勾股定理得，AE2＝AF2+EF2，建立方程求出x＝2+1或x＝2﹣1，判断是否满足条件，得出BE的长，
当B'D过点A时，利用翻折即可求出答案．
【解答】解：当B'E过点A时，
过点D作DH⊥B'E于H，DG⊥BC于G，
由折叠知，∠BED＝∠B'ED，
∴DH＝DG，
过点E作EF⊥AB于F，
∴S△ADE＝AE•DH＝AD•EF＝×3EF＝EF，
S△BDE＝BE•DG＝BD•EF＝（7﹣3）EF＝2EF，
∴＝，
设AE＝3x，则BE＝4x，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝7，
∴∠B＝45°，
∴BF＝EF＝2x，
∴AF＝AB﹣BF＝7﹣2x，
根据勾股定理得，AE2＝AF2+EF2，
∴（3x）2＝（7﹣2x）2+（2x）2，
∴x＝2+1或x＝2﹣1，
当x＝2+1时，BE＝4（2+1）＝8+4＞7，不符合题意，舍去，
当x＝2﹣1时，BE＝4（2﹣1）＝8﹣4；
当B'D过点A时，由折叠知，ED⊥BB'，
∴∠B＝∠DEB＝45°，
∴BD＝DE＝AB﹣AD＝7﹣3＝4，
∴BE＝4，
即BE的长为4或8﹣4，
故答案为：4或8﹣4．
【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用面积法判断出AE：BE＝3：4是解本题的关键．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【分析】（1）利用完全平方公式，直接开平方即可求得；
（2）利用提取公因式即可求得答案；
【解答】解：（1）x2﹣2x＝15，
x2﹣2x+1＝16，
（x﹣1）2＝16，
x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
x1＝5，x2＝﹣3；
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键．
17．（9分）在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x＜100；其中D等级为优秀），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生成绩在C组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89
抽取的八年级学生成绩在B、C组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86
七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 82 b＝ 85 ，m＝ 24
（2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？
【分析】（1）根据中位数与众数的意义结合统计图即可求出a和b的值，用100%减去其它组的百分比即可得出m的值；
（2）根据中位数与众数的意义分析即可；
（3）用4500乘以优秀的百分比即可．
【解答】解：（1）七年级学生成绩的中位数为从小到大排列后的第13个数据，即a＝82，
八年级学生成绩中，85分的最多，所以众数为b＝85，
∵m%＝100%﹣8%﹣×100%＝24%，
∴m＝24；
故答案为：82，85，24；
（2）八年级学生的劳动能力更强，
理由：因为八年级的劳动能力测评成绩的中位数和众数都比七年级的劳动能力测评成绩高，
所以八年级学生的劳动能力更强；
（3）样本中八年级劳动能力达到优秀有25×24%＝6（名），
4500×＝990（名），
答：估计该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）延长ED交BA的延长线于点F．若∠F＝30°，AB＝8，则BE的长为 6 ．
【分析】（1）连结OD，如图，先证明∠ODB＝∠EBD得到OD∥BE，再利用DE⊥BE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在Rt△ODF中计算出OF＝8，则BF＝12，然后在Rt△EFB中可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OD＝4，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，
在Rt△ODF中，
∵∠F＝30°，
∴OF＝2OD＝8，
∴BF＝OF+OB＝8+4＝12，
∵BE⊥EF，
∴∠E＝90°，
在Rt△EFB中，
∵∠F＝30°，
∴BE＝BF＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
19．（9分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为3m的观景台DE，已知∠DCE＝30°，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．求塔AB的高度．【参考数据：tan27°＝0.5，】．
【分析】根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质得，过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（+h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：DE⊥EC，
在 Rt△DEC 中，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
DE＝3m，
∴，
∵BA⊥EA，
在 Rt△ABC中，∠BCA＝45°，AB＝h m，
∴AC＝，
∴，
过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：DE＝FA＝3m，，
∵AB＝h m，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在 Rt△BDF 中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°＝0.5（33+h）m，
∴，
∴，
∴AB＝11.1m，
∴塔AB的高度约为11.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．（9分）如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3n，n）和（m，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式x﹣2＜的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
【分析】（1）把点A（3n，n）代入直线y＝x﹣2得到关于n的一元一次方程，解之，得到点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数y＝，即可求得k的值，即可得到答案，
（2）把点B（m，﹣3）代入直线y＝x﹣2得到关于m的一元一次方程，解之，得到点B的坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方的x的取值范围，即可得到答案；
（3）把y＝0代入一次函数解析式，解之得到点C的坐标，求出△AOC的面积，进一步求得△POC的面积，根据三角形面积公式即可求得P的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（3n，n）代入直线y＝x﹣2得：
n＝3n﹣2，
解得：n＝1，
∴点A的坐标为：（3，1），
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴k＝3×1＝3，
即反比例函数的解析式为y＝，
（2）把点B（m，﹣3）代入直线y＝x﹣2得，﹣3＝m﹣2，
解得m＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣3），
观察函数图象，发现：
当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式x﹣2＜的解集为：x＜﹣1或0＜x＜3．
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x﹣2＝0，
解得：x＝2，
即点C的坐标为：（2，0），
∴S△AOC＝＝1，
∵S△POC＝3S△AOC，
∴S△POC＝OC•|yP|＝3，即，
∴|yP|＝3，
当点P的纵坐标为3时，则3＝，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
21．（9分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40）元，每天的销售量为（20+4y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40）元，每天的销售量为（20+4y）件，
依题意得：（80﹣y﹣40）（20+4y）＝1400，
整理得：y2﹣35y+150＝0，
解得：y1＝5，y2＝30．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝30．
答：售价应降低30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2，点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）．
（1）求出抛物线的对称轴和解析式．
（2）当﹣1≤m≤2时，求出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），则﹣a﹣1＝﹣2，求得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）由P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，得n＝m2﹣2m﹣1，当m＝﹣1时，n＝2；m＝2时，n＝﹣1，而抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），可知当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，所以n的取值范围是﹣2≤n≤2；
（3）当点P（m，n）到x轴的距离为1时，时n＝1或n＝﹣1，由m2﹣2m﹣1＝1，求得m1＝1﹣，m2＝1+；由m2﹣2m﹣1＝﹣1，求得m1＝0，m2＝2，则点E（1﹣，1）、F（1+，1）、G（2，﹣1）、C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，所以m的取值范围是2≤m＜1+．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），
∵抛物线顶点纵坐标为﹣2，
∴﹣a﹣1＝﹣2，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．
（2）∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，
∴n＝m2﹣2m﹣1，
当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2，
当m＝2时，n＝22﹣2×2﹣1＝﹣1，
由（1）得抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）
∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n＝﹣2，
∴当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，
∴n的取值范围是﹣2≤n≤2．
（3）点P（m，n）到x轴的距离为1时，有n＝1或n＝﹣1，
当n＝1时，则m2﹣2m﹣1＝1，
解得m1＝1﹣，m2＝1+；
当n＝﹣1时，则m2﹣2m﹣1＝﹣1，
解得m1＝0，m2＝2，
如图，点E（1﹣，1）、F（1+，1）、G（2，﹣1）、C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，
∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，
∴m的取值范围是2≤m＜1+．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合数学思想的运用是解题的关键．
23．（10分）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G．
数学思考：（1）线段BF和CG的数量关系 BF＝CG ；
问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求的值；
问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，证出∠FEB＝∠CEG，由“ASA”可证△BEF≌△GEC，由全等三角形的性质得出BF＝CG；
（2）证明△BFE∽△GCE，由相似三角形的性质得出，求出tan∠ECF＝，则可得出答案；
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，证出DM＝CM＝1，BN＝CN＝，由（2）知△BFE∽△GCE，由相似三角形的性质证出∠EBF＝∠G，由锐角三角函数的定义得出tan∠EBN＝＝＝tanG＝，求出CG的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ACD＝∠DAC＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECG，
∴EF＝EC，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEG，
∴∠BEC+∠CEG＝∠BEG+∠FEB，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝CG，
故答案为：BF＝CG；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠BCE+∠EFB＝90°，∠FEB+∠BEC＝90°，
∴∠EFB＝∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC＝90°，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴tan∠ECF＝，
∴＝，
∴＝；
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，
∵E为AC的中点，
∴AC＝EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴＝，
∴DM＝CM＝1，
同理可得BN＝CN＝，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF＝∠G，
∴tan∠EBN＝＝＝tanG＝，
∴＝，
∴CG＝，
∴S△CEG＝CG•EM＝××＝．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．年级
平均数
中位数
众数
七年级
78.9
a
79
八年级
78.9
85
b
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78.9
a
79
八年级
78.9
85
b