湖北省武汉市江岸区2023-2024高三上学期元月调研考试数学试题及答案

这是一份湖北省武汉市江岸区2023-2024高三上学期元月调研考试数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知是关于的方程（p，）的一个根，则（ ）
A.0B.C.2D.1
3.已知向量，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.函数在区间上递增，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.设数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为2：1，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知在中，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，正方体的棱长为1，则（ ）
A.正方体的内切球的半径为
B.两条异面直线和所成的角为
C.直线与平面所成的角等于
D.点到面的距离为
10.已知圆和圆，则（ ）
A.两圆可能无公共点
B.若两圆相切，则
C.直线可能为两圆的公切线
D.当时，若为两圆的公切线，则或
11.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A.A，B相互独立B.C.D.
12.已知函数，，，则（ ）
A.当时，函数有两个零点
B.存在某个，使得函数与零点个数不相同
C.存在，使得与有相同的零点
D.若函数有两个零点，，有两个零点，，一定有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知如下的两组数据：
第一组：10、11、12、15、14、13
第二组：12，14、13、15、a、16
若两组数据的方差相等，则实数的值为_________.
14.若函数在上恰有两个极大值点和四个零点，则实数的取值范围是_________.
15.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱.两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_________.
16.如图，椭圆和有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，B，P三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
（1）求；
（2）为边上一点，，且，求.
18.（12分）如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，.将沿折起，使点到达点的位置，使平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.（12分）若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.
证明：（1）数列为等比数列；
（2）数列具有性质.
21.（12分）已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设次操作后盒子中所剩黑球的个数为.
（1）当时，求的分布列；
（2）当时，求的分布列和数学期望.
22.（12分）已知抛物线的焦点为F，M为抛物线上一点，且在第一象限内.过作抛物线的两条切线，，A，B是切点；射线交抛物线于.
（1）求直线的方程（用M点横坐标表示）；
（2）求四边形面积的最小值.
2023~2024学年度高三元月调考
数学试卷参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
二、选择题
9.BC 10.ACD 11.ABD 12.ACD
三、填空题
13.11或1714.15.16.
四、解答题：
17.（1）已知，由，有，
所以，两边同乘以得：.
由正弦定理得：.
由，，所以，.
（2）因为在边上，且，
所以.
因为，所以，则，
即，得，
所以，.不妨设，.
在中，由余弦定理：，所以.
由余弦定理：.
18.（1）因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以.
又因为为的中点，则，所以为等腰三角形，
可得，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
则平面，且平面，所以.
（2）作，过作，
由面面得面
则两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.
，，，，
设平面的一个法向量为
由知可取，
同理得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为.
则.
面与面夹角的余弦值为.
19.（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
20.（1）设，则，
.
因此数列是首项为，公比为的等比数列，且.
（2）由（1），，所以.
取数列，则是等比数列，并且.
因此集合.所以数列具有性质.
21.解：（1），即3次摸换球后的可能取值为1，2，3.
当，即3次摸球都摸到黑球，
当，即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球，
当，即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球，
.
分布列为
（2）时，即次摸球换球后，黑球个数可能取值为1，2，3
同（1）当，即次摸球都摸到黑球，
当，即次摸球有且仅有“”次摸到黑球，1次摸到白球，
.
当，
22.（1），，，
则切线方程为，整理得，
同理，方程为，
又在，上，
，，
在上，，
.
（2）设，，
联立，，
.
设A、B到的距离为、.
则
联立，，，
，
（其中）
，
又代入得
，
当且仅当，即取最小值.x
0
极大值
1
2
2