四川省眉山市2024届高三一模数学（理）检测试卷（附答案）

这是一份四川省眉山市2024届高三一模数学（理）检测试卷（附答案），共22页。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）

A．B．C．D．
4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（ ）

A．B．C．D．5
7．“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420B．460C．480D．520
10．若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
12．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知实数满足，则的最大值为 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为 ．
16．若点为的重心，，则 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
(1)通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
(2)现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
18．已知数列与正项等比数列满足，且________．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．
(1)求；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．

(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求的极坐标方程；
(2)若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数．
(1)解不等式；
(2)令的最小值为，正数满足，证明：．
良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
1．B
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
则.
故选：B.
2．C
【分析】根据复数的除法运算和复数模的定义即可得到答案.
【详解】，则，
故选：C.
3．D
【分析】根据程序框图的循环结构可知每循环一次值减少，当时，得到.
【详解】第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
由以上可知，第次循环：；
当时，一直循环，所以由，且，解得；
因此，第506次循环：，即，
则，输出.
故选：D.
4．B
【分析】利用互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，
则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，
所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为.
故选：B.
5．C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】建系，设，根据题意结合向量的坐标运算求得，即可得结果.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，

则，可得，
因为，即，解得，
即，所以.
故选：D.
7．A
【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则当，可得，为最大值，
所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立；
若函数的图象关于直线对称，
则，解得，
不一定成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
8．B
【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
【详解】因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.

9．C
【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C
10．C
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.
【详解】函数中，，即，设点，
求导得
，由，得，即，
因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C
11．A
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，不妨设，
则，
故，
，
设平面的法向量为，
则，可取，
则，
所以，
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
12．B
【分析】根据，分别在，和中，利用相似比求出，再根据即可得解.
【详解】不妨令点在第一象限，设，
因为，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
即的离心率为.
故选：B.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．11
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.
【详解】由约束条件，画出可行域，如图：

令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故11.
14．（答案不唯一）
【分析】根据的奇偶性、最值以及周期性分析判断.
【详解】例如，可知其定义域为，
则，即为偶函数；
显然的最大值为2；
且的最小正周期为；
所以符合题意.
故（答案不唯一）.
15．
【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解.
【详解】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：

由题意，由知，
由圆的切线长性质可知，所以，
所以，
所以该四棱台的内切球的半径为，
下面画出正四棱台，
连接,，交于点,连接,，交于点，如图，

由可得,，，
设外接球的半径为，，则，
由得，解得，
于是，则.
所以.
故答案为.
16．
【分析】由点为的重心，可得，再结合题意可得，再利用余弦定理即可得解.
【详解】设点为边上的中点，
因为点为的重心，所以，
则，
所以，所以，
因为，
所以，
即，
因为不共线且，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
不妨设，
则.
故答案为.

关键点点睛：根据重心的性质结合已知得出，是解决本题的关键.
17．(1)有的把握认为产品质量与生产线有关系
(2)的分布列见解析，数学期望为1
【分析】（1）根据列联表,求得,即可判断；
（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2,4件，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1），
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，
由题意可知：，则：
，
可得的分布列为
所以的数学期望.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，对于①②：根据等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
若选①：因为，则，解得，
所以；
若选②：因为，则，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以.
19．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得.
（2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得.
【详解】（1）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，显然，于是，
所以.
（2）由（1）知，
假定存在不同于点的定点，使得恒成立，由抛物线对称性知，点在x轴上，设，
则直线的斜率互为相反数，即，即，
整理得，即，亦即，而不恒为0，则，
所以存在不同于点的定点，使得恒成立，点的坐标为.
20．(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.
（2）作，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面内过作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则有，
显然平面，因此平面，又平面，
所以.

（2）过点作，由，得，
由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，
假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，
令，则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，.
21．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，证明即可；
（2）求导，在上的极值点个数即为函数在上零点的个数，当时，令，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，画出其大致图象，结合图象即可得出答案.
【详解】（1）若，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，
又，
故存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以；
（2），
在上的极值点个数，
即为函数在上零点的个数（零点两边异号），
因为，所以不是函数的零点，
当时，
令，则，
令，
因为，
所以函数为偶函数，
，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，
所以函数在上单调递减，
又，当时，，，
如图，作出函数的大致图象，

由图可知，当，即时，函数无零点，
所以函数在上没有极值点，
当，即时，
函数有个不同的零点，且零点两边异号，
所以函数在上有个极值点，
综上所述，当时，函数在上没有极值点；
当时，函数在上有个极值点.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
22．(1)
(2)1
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的关系分析求解；
（2）将曲线化为极坐标，结合极坐标的几何意义分析求解.
【详解】（1）因为曲线（其中），且，
所以的极坐标方程为，即.
（2）由题意可知：曲线（为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，
所以曲线的极坐标方程为；
曲线（t为参数，），即，
表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；
可得，
注意到，则，
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为1.
23．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把函数分段表示出，再分段解不等式即得.
（2）求出函数的最小值，再变形并利用基本不等式推理即得.
【详解】（1）依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
0
1
2