单元提升卷06 解三角形-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知中，，则角A的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得：，则，
解得：，则或，
因为，所以，所以.
故选：A.
2．在中，角所对的边分别为且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合面积公式可求.
【详解】因为的面积为，故，故，
又，
故，
故选：A.
3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件结合正、余弦定理求出即可得解.
【详解】在中，由正弦定理进行角换边得，
再由余弦定理得，
而，所以.
故选：D.
4．已知在中，角A，，的对边分别是，，，，若，则外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，根据同角三角函数的关系、正弦定理可得，代入余弦定理可求得角A，根据正弦定理，可求得外接圆半径R，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
整理得，由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以，
由正弦定理得外接圆的直径，
所以外接圆的面积.
故选：A.
5．已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得，即可求解.
【详解】由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
过作，则，
要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，则需要，
解得的取值范围是．
故选：B．

6．已知的内角的对边分别为，下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的三角形有2个
C．若，则
D．若△ABC的面积，则
【答案】C
【分析】对于A,利用正弦定理即可求解；
对于B，利用正弦定理及大边对大角即可求解；
对于C，利用已知条件及诱导公式即可求解；
对于D，利用余弦定理及三角形的面积公式,结合同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】对于A，由及正弦定理，得,所以，故A 正确；
对于B，由题意及正弦定理得,所以,因为，所以,所以或，即符合条件的三角形有2个，故B正确；
对于C，由，得或，所以或，所以或，故C错误；
对于D，由，得，所以，由于，所以，故D正确.
故选：C.
7．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.
故选：D
8．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得，进而求得，再把化为，结合即可求解.
【详解】 ，,
即 ，
，，
，，
，
.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（ ）
A．的面稘为B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误.
【详解】在中，因为，且，
由三角形的面积公式，可得，所以A错误；
由为锐角，且，可得，所以B正确；
由余弦定理得，可得，所以C正确；
由余弦定理得，所以D不正确.
故选：BC.
10．在中，角的对边分别是，则能确定为钝角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】选项，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得；
选项B，由，可得；
选项C，利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得；
选项D，根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得.
【详解】选项，由正弦定理及，知，
由余弦定理得，，由，所以为钝角，即选项正确；
选项B，，则，显然不可能为钝角，即选项B错误；
选项C，由正弦定理及，得，
由，，所以，
又，所以，
由，，所以，由，所以为钝角，即选项C正确；
选项D，由，知，
由，，则，有
所以，即，
所以，由，所以为钝角，即选项D正确.
故选：ACD.
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（ ）
A．B的最小值为B．
C．D．的取值范围为
【答案】BC
【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.
【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则，
∴，，A错．
对选项B，
，B对．
对于选项C，，C对．
对于选项D，令，则，∴b＝aq，，∴，
∴，D错．
故选：BC
12．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．B．的面积为
C．D．点在点的北偏西方向上
【答案】AC
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对于，先求出，，，再根据，，即可判断；
对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于，在中，由正弦定理，即可判断；
对于，过点作于点，易知，即可判断．
【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，
所以，，，
又，，，，
在，中，，，所以，故A正确；
对于，的面积为，故B错误；
对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；
对于，过点作于点，易知，所以，故D错误，
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 ．
【答案】//
【分析】根据已知等量关系，利用余弦定理求得，即可确定角的大小.
【详解】由题设，而，
又，则.
故答案为：
14．如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

【答案】
【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小.
【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以．
又因为在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因为，所以为锐角，所以，
则，
又，所以．
故答案为：.
15．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，，则利用三角函数恒等变换公式和正弦函数的性质可求得其范围.
【详解】∵，∴，
∵，由余弦定理可得，
∴，解得，
∴，
∵，∴，.
所以
，
∵，∴，∴.
因此，.
故答案为：
16．已知的三个角，，所对的边为，，，若，为边上一点，且，，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得.
【详解】设，则，
∵，，
∴，
即，化简得，即，
又，解得或（舍去），
所以，
又，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在中，角的对边分别为.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得.
（2）利用三角形的面积求得，进而求得，根据余弦定理求得，从而求得的周长.
【详解】（1）由得，
，
，
由正弦定理得，
，
.
（2）的面积为，即，得，
，
，
，
由余弦定理可得，
，
三角形的周长为.
18．在中，角，，的对边分别是，，，若，且.
(1)当，时，求，的值；
(2)若角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化为边，再结合已知条件，解方程组，解得即可；
（2）结合余弦定理与，解不等式即可．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，，
所以，
又，
所以，或，．
（2）由（1）知，且，
由余弦定理得，
因为为锐角，所以，
所以，解得或（舍去），
故实数的取值范围为．
19．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______.
(1)求角C；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先选择条件，再根据三角形的正、余弦定理，求出角C；
（2）根据题（1）在结合余弦定理以及三角形的三边关系，得出b的范围，进而求出面积的取值范围.
【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，
由余弦定理得，又，
∴.
若选择②：由②及正弦定理得， 所以，
即，由，
∴，又，
故.
若选择③：由③可得，∴，
∴，又，.
（2）由已知及余弦定理可得，
由为锐角三角形可得且，
解得，
所以面积.
20．某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）

(1)求走私船的速度大小；
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
【答案】(1)n mile/h
(2)缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解．
【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处，
点位于哨所北偏西方向n mile处，
，
，
n mile/h，
走私船的速度大小为n mile/h.
（2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，
，
，
，，
走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h，
，
在中，根据余弦定理，，
，
化简得，(舍去)，或，
此时，，
缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．

21．如图，在中，已知，，.Q为BC的中点.
(1)求AQ的长；
(2)P是线段AC上的一点，当AP为何值时，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据，两边平方求解；
解法二：利用，再结合余弦定理求解
（2）在中，先根据余弦定理求得，再在中，由余弦定理得的正余弦，进而根据内角和，结合两角和差的正弦公式求解，最后再在中，由正弦定理求得即可
【详解】（1）解法一：因为Q为BC的中点，所以
所以，即
解法二：在中，由余弦定理得，
所以，即
在中，根据余弦定理得
在中，根据余弦定理得
因为，所以
解得.
（2）在中，由余弦定理得.
所以，即
在中，由余弦定理得
所以，
因为，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以，即当时，.
22．记的内角的对边分别为的面积.
(1)若，求；
(2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值.
①为的平分线；②为边上的中线.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到，再由正弦定理即可得到结果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由，再结合余弦定理与基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，所以，
由三角形的面积公式可得，所以，
所以，又，所以.
因为，所以为锐角，，
所以
，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）选择条件①：
在中由余弦定理得，即，
即，故，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
选择条件②：
由点为的中点得，
平方得，
在中由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时等号成立，
故有
，
从而，故的最大值为.