四川省南充市2024届高三高考适应性考试（一诊）考试数学（理）试题及参考答案

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．D．4
4．已知直线m，n和平面，，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
5．已知全集，集合，，则能表示A，B，U关系的图是（ ）
A．B．
C．D．
6．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（ ）
A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件
B．表中数据的样本中心点为
C．
D．由表中数据可知，y和x成正相关
7．二项式的展开式中常数项为（ ）
A．B．60C．210D．
8．已知：，，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．9D．18
10．如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（ ）

图1 图2
A．
B．
C．方程有4个不相等的实数解
D．的解集为，
11．已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（ ）
A．B．2C．5D．
12．已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（ ）个
①②③④
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．满足约束条件的平面区域的面积为________．
14．已知函数为R上的奇函数，且，则________．
15．已知圆台的上下底面半径分别为和，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为________．
附：圆台体积公式为：
16．如图，在中，，，P为内一点，且，则________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．已知数列是首项为2的等比数列，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的公比，设数列满足，求的前2023项和．
18．2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：
（1）是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出4人作为医学研究对象并免费治疗．按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为1万元，记抽出的这4人产生的研究治疗总费用为（单位：万元），求的分布列及数学期望．
附表：
参考公式：（其中）
19．如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
20．设函数（e为自然对数的底数），函数与函数的图象关于直线对称．
（1）设函数，若时，恒成立，求m的取值范围；
（2）证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．
21．如图，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点且斜率为k的直线交椭圆E于M，N两点．
（1）求四边形的内切圆的方程；
（2）设，连结，并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设的斜率为．则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）写出，的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且与交于点A，与交于点B（A，B与点O不重合），求面积的最大值．
23．已知函数．
（1）若恒成立，求a取值范围；
（2）若的最大值为M，正实数a，b，c满足：，求的最大值．
时间x（月）
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
1
1.6
2.0
a
3
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828