吉林省白山市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案

这是一份吉林省白山市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A  x y x  2， B  x x ≤ 0 ，则 A ∩ B  （）
2, 4


2, 4
x  4


2, 4
ϕ
复数 z  i  2i2  3i3 ，则 z 的虚部为（）
2iB. 2i
C.2D. 2
→→→→→→
已知 a  2, 2 ， b  3,1 ，若 a 在向量b 上的投影为c ，则向量c  （）
 3 , 1 
 6 , 2 
  3 ,  1 
  6 ,  2 
 5 5 
 5 5 
55 
55 

4.2023 年 12 月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男 1 女，则总的站排方法共有（）
A.300B.432C.600D.864
1 x2
“ 1≤ b  1”是“方程 x  b 有唯一实根”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数
2
a ， b ， x ， y ，满足 a
b2
a  b2
≥
，当且仅当
a  b 时，等号成立.则函数
xyx  yxy
f  x  3  16  0  x  1  的最小值为（）
x1 3x 3 

A.16B.25C.36D.49
正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为 2 的正八面体中，则有（）
A.直线 AE 与CF 是异面直线B.平面 ABF  平面 ABE
C.该几何体的体积为 42
3
D.平面 ABE 与平面 DCF 间的距离为 2 6
3
x2y2
不与坐标轴垂直的直线l 过点 N  x0 , 0 ， x0  0 ，椭圆C : a2  b2
 1a  b  0 上存在两点 A ， B 关于
l 对称，线段 AB 的中点 M 的坐标为 x1, y1  .若 x1  2x0 ，则C 的离心率为（）
3
1
A.B.
32
C.D.
2
3
22
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.2023 年 10 月 3 日第 19 届杭州亚运会跳水女子 10 米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分 438.20 分夺冠.已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为 xi i  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ，平均数为 x ，方差为 m .若 7
个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余 5 个成绩的平均值为 y ，方差为 n ，则（）
A. y 一定大于 xB. y 可能等于 xC. m 一定大于 nD. m 可能等于 n
515
公差不为零的等差数列an 满足 a6
 a8 ，  a a
，则（）
96
a7  0
d  4
k 1
k k 1
a1  24
S15  60
已知函数 f  x  2 sin ωx φω 0, 0 φ π 的相邻两对称轴的之间的距离为π，函数 f  x  π
2 26 

为偶函数，则（）
φ π
6
 π
6 , 0  为其一个对称中心

若 f  x 在a, a 单调递增，则0  a ≤ π
6
曲线 y 
f  x 与直线 y  1 x  π 有 7 个交点
224
已知抛物线C : y2  6x 的焦点为 F ，过点 F 的直线l 交抛物线于 A 、 B 两点，若 M 为C 的准线上任意
一点，则（）
3
直线若 AB 的斜率为
，则 AB  16
AMB 的取值范围为0,π
–––→ –––→27
2 
3
OA  OB  
4
AOB 的余弦有最小值为
5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
化简
5  sin10 .
3  cs2 50
 1n
已知二项式 2x x  的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于 45，则展开式的常数项为.

3
在四面体 A  BCD 中， BC  2 2 ， BD  2，且满足 BC  BD ， AC  BC ， AD  BD .若该三棱
8 6
锥的体积为
3
，则该锥体的外接球的体积为.
已知函数 f  x 的定义域为 R ，且 f  x  y   f  x  y   f  x f  y  ， f 1  1，请写出满足条件的一
个 f  x  （答案不唯一）， f 2024  .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）已知等比数列an 满足 a1  2 ，且 a2  a4  20 .
求数列an 的通项公式；
若数列bn 满足bn  n  an ，bn 其前 n 项和记为 Sn ，求 Sn .
18.（12 分）在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 a  b cs C 
求角 B ；
过 B 作 BD  BA ，交线段 AC 于 D ，且 AD  2DC ，求角C .
–––→–––→
3 c sin B .
3
19.（12 分）如图所示，在矩形 ABCD 中， AB  3 ， AD  2 ， DE  2EC ， O 为 AE 的中点，以 AE 为折痕将△ADE 向上折至 D  AE  B 为直二面角.
求证： DO  BC ；
求平面 DAB 与平面 DCE 所成的锐角的余弦值.
20.（12 分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为 3 的倍
数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记ξ 1；若掷出的点数之和不是 3 的倍数，则称为“不完美
投掷”，出现“不完美投掷”，则记ξ 0 ；若ξ 1，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和
休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为
33
，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.
510
求出随机变量ξ的分布列，并求出期望及方差；
求张老师当天穿西装的概率.
x2y2
21.（12 分）已知 A ， B 分别为双曲线 E :
a2b2
 1a, b  0 的左、右顶点， M 为双曲线 E 上异于 A 、
7
B 的任意一点，直线 MA 、 MB 斜率乘积为 3 ，焦距为2.
4
求双曲线 E 的方程；
设过T 4, 0 的直线与双曲线交于C ， D 两点（ C ， D 不与 A ， B 重合），记直线 AC ， BD 的斜率
为 k ， k ，证明： k1 为定值.
k
12
2
x 1
22.（12 分）已知函数 f  x  ln x  kx 1（ k 为常数），函数 g  x  a
若函数 f  x 有两个零点，求实数 k 的取值的范围；
b .
当 k  0 ，设函数 h  x  g  x  f  x ，若 h  x 在 e, e2  上有零点，求 a2  b2 的最小值.
2024 年第一次高三模拟考试
数学监测试卷答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
答案：B【详解】∵ A  2,  ， B  0, 4 ，∴ A ∩ B  2, 4 ；故选 B
答案：D【详解】∵ z  2  2i ，∴ z 的虚部为2 ；故选 D.
→→ → →
a  b b
答案：D【详解】∵ c 
  2 3,1    6 ,  2  ；故选 D
→→
5
55 
bb
4.BN  4 2 A2 A2 A3 A3  432B
C 2C 22 2 3 3
A
答案：【详解】总的方法数为；故选
2
2
1 x2
答案：A【详解】方程
 x  b 有唯一解，即直线 y  x  b 与上半圆 y 
有且仅有一个交
1 x2
点，解得b 的取值范围为1,1 ∪ 2，
1 x2
∴ 1≤ b  1是方程 x  b 有唯一解的充分不必要条件；故选 A.
2
答案：D【详解】因为 a ， b ， x ， y ，则 a
b2
a  b2
≥
，当且仅当
a  b 时等号成立，又
xyx  yxy
13242
3  4214
0  x ，即1 3x  0 ，于是得 f  x ≥
 49 ，当且仅当 ，即
33x1 3x
3x  1 3x

x1 3x
x  1 时取“=”，所以函数的 f  x  3  16  0  x  1  最小值为 49.
7x1 3x 3 

答案：D【详解】∵ A ， E ， C ， F 四点共面，直线 AE 与CF 是共面的；∴A 错取 AB 中点G ，连接 EG 、 FG ，则EGF 为二面角 E  AB  F 的平面角，
其余弦值为 1 ；B 错
3
2
V  1  4  2 82 ；∴C 错
2
23
连接 AC 、 BD 设交于O ，则O  ABE 为正三棱锥，其底边长为 2，侧棱长为
距离 6 ，所求平面 ABE 与平面 DCF 间的距离为 2 6 ；D 正确
，所以O 到平面 ABE 的
33
b
2
答案：C【详解】设O 为坐标原点，在椭圆C 中， kOM kAB   a2 ，又 kl kAB  1 ，
b2yb2y
b21
2
∴ kOM 
kl 即 1  1 ，又 x1  2x0 ，∴，所以所求离心率为
；故选 C.
a2xa2 x  xa222
110
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错误答案得 0 分）
答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以方差变小.
答案：AD【详解】由 a6
 a8 得， a6  a8  0 ，根据等差数列性质知 a7  0 ，又 a8  0 ，∴ d  0
515
1  11 
5555
由 a a
，得 
96
daa
  a a
a  6d a
，∴ d  4
 d6d96

k 1
k k 1
 16 
1 677
2
所以 S15  15a8  15a7  d   60 ；故选：AD.
答案：ACD【详解】由题意T  π，故ω 2 ，又 y 
f  x 的图象向左平移
π
个单位得到
6
y  2 sin  2xπ ，所以πφ kπ πk  Z ，且0 φ π，故φ π，所以 A 正确；
 3 φ3226

因为 f  x  2 sin  2x  π ，且 f  π  2 sin  π  1 ，所以 B 不正确；
6 6 6 

πππππ π π
令 2  2kπ≤ 2x  6 ≤ 2  2kπ  3  kπ≤ x ≤ 6  kπ， k  Z ，故易知 f  x 在 , 单调递
增，故0  a ≤ π，C 正确；
6
3 6 
直线 y  1 x  π 与曲线 y 
f  x 均过点  π , 0  ，且该直线与曲线 y 
f  x 均关于该点中心对称，
224
 12

当 x  7π时， y  5π 2 ，当 x  13π时， y  9π  2 ，由对称性可知曲线 y 
f  x 与直线
6868
y  1 x  π 有 7 个交点，故 D 正确.
224
故选：ABD.
答案：BCD【详解】对于 A 选项，设 AB 的倾斜角为θ，则 AB 
2 p
sin2θ
 8 ；故 A 错
对于 B 选项，∵以 AB 为直径的圆与准线相切，点 M 在以 AB 为直径的圆上或圆外，
∴ AMB ≤ π，当 M 在直线 AB 上时，∴ AMB  0 ；故 B 正确
2
1 21 2
1
–––→ –––→
对于 C 选项，设 A x1, y1  ， B  x2 , y2  ， OA  OB  x1 x2  y1 y2 
36
y2 y2  y y ，
3x  ty  3
–––→ –––→27
设 AB : x  ty ，联立
2 ，易得 y y  9 ，∴ OA  OB  
，故 C 正确

2 y2  6x
OA OB4
–––→ –––→
1 2
 27
4
4
 27
对于 D 选项， cs AOB 



x  yx  y
22
 
22
11
22

81 25  27 t  y  y 
162
12
–––→ –––→ 
OA OB
12
又 y  y
 6t ，∴ cs AOB 
 27
4
≥  3 ；故 D 正确.
81 25  81t 25
16
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
答案：2
【详解】
5  sin10 3  cs2 50
5  sin10
3  1 cs100
5  sin10
5  cs100
 5  sin10  2 .
5  sin10
21
答案：
2
2222
【详解】∵ C1  C 2  45 ，解得 n  9 ，常数项为T
 C6  1 x
6C621

x 9 .

3
nn79  2 82

答案： 36π
3
2
【详解】将四面体 A  BCD 放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为2， 2
和 4，所以四面体外接球的直径为 6，体积为36π.
答案： 2 csπx ； 1
3
【详解】令 x  y  0 ，则 f 2 0  2 f 0 ，解得 f 0  2 或 f 0  0 ，
若 f 0  0 ，令 x  1 ， y  0 ，则2 f 1  f 1 f 0  0 ，即 f 1  0 与已知矛盾
∴ f 0  2 ，令 x  0 ，则 f  y   f  y   2 f  y  ，∴ f  x 为偶函数
令 y  1，则 f  x 1  f  x 1  f  x ，可推出， f  x 以 6 为周期
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 f  x  2 csπx ，结合 f  x 以 6 为周期，则
3
f 2024  f 2  1 .
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：（1）设等比数列的公比为 q ，由已知，得 q3  q 10  0 （*）易观察，2 是（*）方程的一个根，∴ q  2q2  2q  5  0
∴ q  2 又 a  2 ，∴ a  2n .
1n
（2）由（1）知， bn  n  2
n
n
n
∴ S  1 21  2  22  n  2n （1） 2S  1 22  2  23  n  2n1 （2）
n
（1）-（2）得， S  1 21 1 22 1 2n  n  2n1  1 n 2n1  2
n
∴ S  n 1 2n1  2
解：（1）由正弦定理得： sin A  cs C sin B 
∵ A  π  B  C  ，∴ sin A  sin  B  C 
3 sin C sin B .
3
∴ sin  B  C   sin B cs C  cs B sin C  cs C sin B 
3 sin C sin B
3
∴ cs B sin C  
3 sin C sin B ，
3
3
又sin C  0 ，∴ tan B  ，又 A 为三角形内角，∴ A  2π.
3
–––→
（2）因为 D 在 AC 边上，且 AD  2DC ，所以 BD 
2 –––→
BC 
1 – –→
BA .
–––→ – –→
 1 – –→
2 –––→ 
33
– –→
– –→2
–––→ – –→
33
因为 BD  BA ，所以 BD  BA  0  BA BC   BA  0  BA

 2BC  BA  0 ，
所以c2  ac  c  a .
在△ABC 中， c  a ， B  2π，∴ C  π.
36
​
证明：由已知 DA  DE  2 ，且O 为线段 AE 的中点，∴ DO  AE
又平面 DAE  平面 AECB ，且平面 DAE ∩ 平面 AECB  AE ， DO  平面 DAE
∴ DO  平面 AECB ，又 BC  平面 AECB ，∴ DO  BC .
设 F 为线段 AB 上靠近 A 的三等分点， G 为 BC 的中点，由已知OF  OG ，又 DO  平面 AECB
∴ DO  OF ， OD  OG ，
以O 为坐标原点， OF ， OG ， OD 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示坐标系
∵ DA  2 ， AB  3 ，∴ A1, 1, 0 ， B 1, 2, 0 ， D 0, 0, 2 ， E 1,1, 0 ， C 1, 2, 0
–––→
–––→
–––→
–––→
–→
∴ AB  0, 3, 0 ， BD  1, 2, 2 ， EC  0,1, 0 ， DC  1, 2,  2 
设平面 ADB 的法向量为 m   x1, y1, z1  ，
–––→ –→
 AB  m  03y1  0
x
则–––→ –→，即
 0
 2 y 
2z  0
DB m
111
2
–→
不妨令 z1 ，则 m  2, 0, 2 
同理，平面 DCE 的法向量
→
n  2, 0, 
2 ， cs
–→ →
m, n
–→ →

m  n1 –→ →  m n 3
所以平面 DAB 与平面 DCE 所成的锐角的余弦值为 1 .
3
解：（1）随机变量ξ的取值为 0，1
P ξ 0  24  2 ， P ξ 1  12  1
363
所以ξ的分布列为：
363
E ξ  0  2 1 1  1 .
333
1 211 222
D ξ  1 3   3   0  3   3  9

（2）设 A 表示深色，则 A 表示穿浅色， B 表示穿西装，则 B 表示穿休闲装.
根据题意，穿深色衣物的概率为 P  A  1 ，则穿浅色衣物的概率为 P  A  2 ，
33
穿深色西装的概率为 P B A  0.6  3 ，穿浅色西装的概率为 P B A  3 ，
510
ξ
0
1
P
2
3
1
3
则当天穿西装的概率为 P  B  P B A P  A  P B AP  A  1  3  2  3
 2 .
2
所以张老师当天穿西装的概率为 .
5
353 105
解：（1）设 M  x0 , y0  ， Aa, 0 ， B a, 0 ，
x2y2
b2 x2  a2 
∵ 0  0  1，∴ y2 0，
a2b2
0a2
0
b2 x2  a2 
yya2b23
∴ k k 0  0 ，
MAMB
x  a x  ax2  a2
a24
7
000
7
又∵焦距为2
，可得2c  2
，则c2  7 ，
结合 a2  b2  c2 ，∴ a2  4 ， b2  3 ，

2
2
∴双曲线 E 的标准方程为： xy1.
43
（2）证明：由（1）知 A2, 0 ， B 2, 0 ，设C  x1, y1  ， D  x2 , y2  .
因为C ， D 不与 A ， B 重合，所以可设直线CD : x  ty  4 .
 x2  y2 

与 E 联立：  431，
x  ty  4
2
3
消去 x 整理可得： 3t 2  4 y2  24ty  36  0 ，故t  ，   144t 2  576  0 ，
y  y 
24t
， y y 
36， ty y 
36t
  3  y  y  ，
123t 2  4
1 23t 2  4
1 23t 2  4212
y  x  2 y ty  2
3  y  y   2 y
k11212
21211
∴ k  y  x  2  y ty
 6  3
 .
3
22121
 y1  y2   6 y2
2
解：（Ⅰ） f  x  1 kx ， x 0, 
x
① k  0 时， f  x  0 ，则 f  x 在0,  上单调递增， f  x 至多有一个零点.
② k  0 时，令 f  x  0 得 x  1 ，则 f  x 在 0, 1  上单调递增；
kk 

令 f  x  0 得 x  1 ，则 f  x 在 1 ,  上单调递减；
k k

 k 
若 f  x  0 有 2 个零点，则需满足 f  1   0 ，则0  k  1，

又 f  1   k  0 ，且 f  4   2 ln 2  4 1  2  ln 2  2  1 ，
 e e
 k 2 kk
kk 
 
令t  x  ln x  x ，则t x  1 x ，
x
令t x  0 ，得 x  1，故t  x 在0,1 上单调递增；
令t x  0 ，得 x  1 ，故t  x 在1,  上单调递减；
∴ t  x ≤ t 1  1 ，则t  2   ln 2  2 1  0 ，即ln 2  2  1，
则t 

k
kkkk
4   2  ln 2  2  1  1.
 k 2 
kk 

故t  x 在 1 , 1  上有唯一零点，在 1 ,
4 
上有唯一零点，符合题意
e k



所以0  k  1为所求.
 k k 2 
m 1
（2）设函数 h  x 在 e, e2  上的零点为 m ，则 a
 b  ln m 1  0
所以 P a, b 在直线l :
m 1x  y  ln m 1  0 上，
m
ln m 1
设O 为坐标原点，则 a2  b2  OP 2 ，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方
a2  b2
所以
 OP ≥
又 m  e, e2  ，∴
 ln m 1 ，令t 
m  e, e2  ，则 k t   2 ln t 1
m
ln m 1
m
t
kt   1 2 ln t ≤ 0 ，∴ k t  在
e, e 上单调递减
k t 
min
t 2
a2  b2
 k e  3 ，即≥ 3
ee
所以 a2  b2 的最小值为 9 ，
e2