函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-高一数学上学期同步高分突破(人教A版必修第一册)

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函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.三、指数型复合函数值域的求法1、形如（，且）的函数求值域借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围2、形如（，且）的函数求值域借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。四、对数型复合函数值域的求法1、形如（，且）的函数求值域借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。2、形如（，且）的函数的值域借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题意，函数在上单调递减，又由函数在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，结合选项，可得选项符合题意.故选：ACD.【变式1-1】求函数的单调区间___________.【答案】增区间为，减区间为【解析】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x0，即，解得．故答案为：【变式2-3】若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在单调递减，所以，函数在单调递减，且函数值非负，所以函数在是单调递增且，故 ，解得，故选：C【变式2-4】已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为对任意且，不等式恒成立，所以在上单调递减，因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，可得，解得，综上可得；，所以实数的取值范围为.【变式2-5】已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，令，由，所以，令，因为在区间上是增函数，所以在也是增函数，所以，则，即故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，因为在R上单调递减，所以，故函数的值域为，故选：C【变式3-1】函数在上的值域为___________.【答案】【解析】∵则令，在递增∴【变式3-2】已知函数，则其值域为___________.【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又关于对称， 即时，函数取得最小值，即，即时，函数取得最大值，即，,.【变式3-3】已知函数，求的单调区间及最大值．【答案】单调递增区间为，单调递减区间为；【解析】由得：，的定义域为；，令，则在上单调递增，在上单调递减，又在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；由单调性可知：.【变式3-4】已知．（1）设，求t的最大值与最小值；（2）求的值域．【答案】（1），；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当时，，当时，．（2）令，则，由（1）得，因为函数在上是单调增函数，所以当，即时，；当，即时，，故的值域为.【变式3-5】已知函数，求函数在上的最小值．【答案】【解析】设，由得，，，当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上．【变式3-6】已知函数，若，求在区间上的最大值．【答案】.【解析】令，即求在区间上的最大值．当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，，则；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，，则；④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以，.综上所述，.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数的最大值是2，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在定义域上递减，要使有最大值，则在定义域上先减后增，当，则的最小值为，所以，可得.故选：A【变式4-1】已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，当时，函数显然不存在最大值；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，此时函数无最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函数在上单调递增，所以，即，综上可得，即实数的取值范围是.故选：A.【变式4-2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为函数是偶函数，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.故选：B．【变式4-3】函数没有最小值， 则的取值范围是______．【答案】【解析】令，则外函数为，因为在定义域上单调递增，要使函数没有最小值，即的值域能够取到，且不恒小于等于，当时，符合题意，当时开口向下，只需，解得，即；当时开口向上，只需，解得，即；综上可得，即.【变式4-4】已知函数，若的值域为R，求实数m的取值范围.【答案】【解析】由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．