2024新乡原阳县一中高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024新乡原阳县一中高一上学期12月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分 150分 时长120分钟 命题人 审核人
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
4. 若规定，则不等式的解集是（ ）
A B. C. D.
5. 在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A. y＝m(1－x)2B. y＝m(1＋x)2C. y＝2m(1－x)D. y＝2m(1＋x)
6. 已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
7. 某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A. 2026年B. 2027年C. 2028年D. 2029年
8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数值域为，则的定义域可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
11. （多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
12. 设，若有三个不同实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．
13. 已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．
14. 若关于x不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
15. 若正数，满足，则的最大值为________．
16. 设函数，，（其中），
（1）________；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18. （1）已知集合，满足，，求实数，的值；
（2）已知集合，函数的定义域为，若，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
20. 某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
21. （1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；
（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
（1）求m；
（2）证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同交点；
（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
原阳一中2023-2024学年上学期高一年级12月月考
数 学 试 卷
总分 150分 时长120分钟 命题人 审核人
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合N，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.
【详解】依题意，，而，
对于A，，因此，A是；
对于B，，因此，B不是；
对于C，，因此或，C不是；
对于D，或，因此或，D不是.
故选：A
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，，即，
，
所以
故选：A
3. 命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可.
【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求；
当时，即有，解得且；
综上所述，.
故选：B.
4. 若规定，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意化简，直接求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
解得或，
故选：D
5. 在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A. y＝m(1－x)2B. y＝m(1＋x)2C. y＝2m(1－x)D. y＝2m(1＋x)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数模型列式求解．
【详解】第一次降价后价格为，第二次降价后价格变为．
故选：A．
【点睛】本题考查指数函数模型应用，平行增长率问题．属于基础题．
6. 已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
7. 某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A. 2026年B. 2027年C. 2028年D. 2029年
【答案】C
【解析】
【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.
【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年，
故，解得
故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：C
8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据＜0，得到在上递减，然后由，得到， 将不等式转化为求解.
【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，
所以在上递减，
因为，
所以，
因为不等式，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据的图象求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示，由解得，
的图象是函数的图象的一部分，
依题意，的值域为，
由图可知，的定义域可以是、.
故选：AB
10. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
11. （多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意求出的定义域，将的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.
【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以.
又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和.
故选BC.
【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.
12. 设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】AB
【解析】
【分析】先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】解：作出函数图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．
13. 已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．
【答案】9
【解析】
【详解】由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，
因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.
答案：9.
14. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
15. 若正数，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用基本不等式中“1”妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】因为正数，满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为．
故答案为：
16. 设函数，，（其中），
（1）________；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，推得，即可求得的值，作出函数和的图象，结合和，结合图象，即可求得的取值范围.
【详解】由题意，函数，
所以；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得，
画出函数和的图象，如图所示，
由，可得；又由，可得，
由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.
【小问1详解】
解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
【小问2详解】
解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：
.
18. （1）已知集合，满足，，求实数，的值；
（2）已知集合，函数的定义域为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件得到，从而得到方程组，求出实数，的值；
（2）先根据对数函数的定义域得到，分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
详解】（1），，故，
故，解得；
（2）由题意得，解得，故，
，当时，，解得，
当时，需满足或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可
【详解】（1）时， ，
令可得，即．
的零点是．
（2）令，显然，则．
有两个零点，且为单调函数，
方程在上有两解，
，解得：．
的取值范围是．
【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题
20. 某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
【答案】（1）一天中早上点该厂的污水污染指数最低
（2）调节参数应控制在内.
【解析】
【分析】（1）时，令，解得即可得出；
（2）利用换元法，再利用函数的单调性即可得出.
【小问1详解】
因为，.
当时，，即，解得.
所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.
【小问2详解】
设，则当时，.
设,
则,
在上是减函数，在上是增函数，
则,
因为,
则有 ，解得，
又，故调节参数应控制在内.
21. （1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；
（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；
（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，当时，恒成立，
则，
因为，所以，
所以，由单调递减，知当时，，
即.
（2）因为对于任意的成立，
所以对于任意的成立.
即恒成立，
由二次不等式的性质可得，
，
所以，解得.
故实数入的取值范围为.
22. 已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
（1）求m；
（2）证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点；
（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
【答案】（1）0. （2）见解析；
（3）2.
【解析】
【分析】（1）根据，单调性求出最小值，两个最小值相等求出m的值.
（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.
（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为，，之间的关系，转化为即可求解.
【小问1详解】
由，
时，
时
则在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
时，，
时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
，
即
令，
所以在定义域上单调递增，
因为，
所以解得.
【小问2详解】
由（1）知，即；
因为，
所以当时，考虑与解的个数，
根据，单调性作图如下：

易知时，；时，；
时，；时，；
则在区间与各有一个根，
在区间与各有一个根，
要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点，
即证：在上有交点.
当时，
令
，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使，
即在上有交点，得证.
所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点.
【小问3详解】

如图与函数，恰好共有三个不同的交点，
三个交点的横坐标分别为，，，，
则有，
因为
而单调递减，所以，
因为，
而单调递增，所以，
又因为.
所以.
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.