山东省烟台市莱山区（五四制）2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省烟台市莱山区（五四制）2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共26页。
1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）
A. 三角形两边之和大于第三边B. 三角形具有稳定性
C. 三角形的内角和是D. 直角三角形两个锐角互余
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性可以解决．
【详解】因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 2. 把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x看作已知数求出y即可．
详解】解：方程，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4. 在和中，已知，，再从下面条件中随机抽取一个：①，②，③，④．抽到的条件恰好能使的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
分析】由，知，若要使，则需要①或③或④，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：在和中，，，
若要使，则需要①或③或④，
抽到的条件恰好能保证的概率是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式和全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定及概率公式．
5. 如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B作，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴的度数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．
6. 如图，直线与交于点， 则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可先对进行变形为，说明直线在直线的上方，根据图像即可判断出的取值范围.
【详解】∵可变形为，
∴直线在直线的上方
根据图像即可判断出的取值范围为
故选D
【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键.
7. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线的性质得出，再由三角形外角的性质求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴−−．
∵由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，三角形的内角和定理以及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
8. 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M、N运动的时间为x秒．
【详解】设M、N运动的时间为x秒．
当是以为底的等腰三角形时，
即，解得．
∴腰长为
故选D．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．
9. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴,
∴的最大值应为5
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
10. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知∠DEF=∠EFB=20°图2中∠GFC=140°，图3中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在图2中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°．
故选B．
【点睛】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 若，则，，这三个数用“”连接起来为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，可得，据此把，，这三个数用“”连接起来即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴．
故答案为∶．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
12. 一个不透明的盒子里装有15张红色卡片，20张黄色卡片，12张黑色卡片和若干张蓝色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是0.25．从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据红色卡片求出卡片的总张数，再求出任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率即可．
【详解】解：由题意，得卡片的总张数为=60，
则任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
13. 关于x，y的方程组的解也是方程的解，则m的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】先将原不等式利用加减法得，，再结合得关于m的方程，解方程即可；
【详解】解：
，得，
∵，
∴
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键．
14. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，都与地面平行，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键．
16. 如图，已知平分，，于点，于点，交于点，若，则的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】由角平分线的性质得，，再用平行线的性质得，于是可得，利用勾股定理及度直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵平分，，于点，于点，
∴，，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，角平分线的定义及性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理以及30度直角三角形的性质是解题的关键．
17. 如图，等腰直角中，，点O是边AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且，连接DE．下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③；④．其中正确的序号为______．

【答案】②③④
【解析】
【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确．利用全等三角形的性质与勾股定理可判定．
【详解】解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为，，
解：由等腰直角三角形的性质，可知，，
在与中，
∴
∵，
∴．
在与中，
∴，
同理可证：；
结论②正确．理由如下：
∵，
∴，
∴
∴的面积等于四边形的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
中，由勾股定理得
∴
故结论④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高，的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作于点，当点在上时，随的增大而增大，对应函数图象中段；当点在上时，先随的增大而减小，再随的增大而增大，点与重合时，在上的值最小，对应函数图象中段；当点在上时，先随的增大而减小；勾股定理求得．然后等面积法即可求解．
【详解】解：过点作于点，如图：

当点在上时，随的增大而增大，对应函数图象中段；
当点在上时，先随的增大而减小，再随的增大而增大，点与重合时，在上的值最小，对应函数图象中段；
当点在上时，随的增大而减小；
即在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，从函数图象获取信息是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）
19. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）整理后，用加减消元法解方程组即可．
（2）由得：，把得：，从而即可求解，，即可求解．
【小问1详解】
解：原方程组整理得
①②，得，解得．
把代入②，得，
解得
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
得：④
得：
将代入②得
将，代入①中得：
∴此方程的解为．
【点睛】考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20. 解不等式组，并写出不等式组的负整数解．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组，画数轴，观察数轴得出不等式组的负整数解．
【详解】解：
由①得，．
由②得，．
解集在数轴上表示如图：

∴不等式组的解集是．
∴不等式组的负整数解是．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握运算法则．
21. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：

（1）______，______；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？
【答案】（1）0.6，472；
（2）0.6；0.6；
（3）144°．
【解析】
【分析】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是；
（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为−，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．
【小问1详解】
解：÷≈；；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22. 为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元）与用电量（）之间的函数图象如图所示．

（1）求与之间的函数表达式；
（2）若乙用户某月需缴电费元，求乙用户该月的用电量．
【答案】（1）
（2）260
【解析】
【分析】（1）根据图象可以分别设出，时的函数解析式，从而可以解答本题；
（2）根据图象可以判断电费元在的函数图象上，从而可以解答本题．
【小问1详解】
解∶根据图象可得，
当时，设．
则．
解得，．
∴时，．
当时．设，则
解得，．
∴>时，．
由上可得，与之间的函数关系式是∶．
【小问2详解】
解：∵，
∴乙用户某月需缴电费元时，适用计算，
将代入，得，
解得．
即乙用户某月需缴电费元，乙用户该月的用电量是度．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件．
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BA的延长线上，点E是AC中点，点F是BC边上一点．
（1）尺规作图：作∠CAD的角平分线AM，连接FE并延长，交AM于点G（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AGBC；
（3）若AB＝5，AG＝6，BF＝CF，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）△ABC的面积为12
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠CAD的角平分线AM，连接FE并延长，交AM于点G；
（2）根据平行线的判定即可解决问题；
（3）证明△AEG≌△CEF（ASA），可得AG=CF=6，所以BF=CF=2，可得BC=BF+CF=8，过点A作AH⊥BC于点H，然后根据勾股定理求出AH，进而可以求△ABC的面积．
【小问1详解】
解：如图，∠CAD角平分线AM即为所求；
；
【小问2详解】
证明：由（1）知：AM是∠CAD的角平分线，
∴∠DAC=2∠1=2∠2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DAC=∠B+∠C=2∠B，
∴∠1=∠B，
∴AGBC；
【小问3详解】
解：∵AGBC，
∴∠2=∠C，
∵点E是AC中点，
∴AE=CE，
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（ASA），
∴AG=CF=6，
∴BF=CF=2，
∴BC=BF+CF=8，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，
∴BH=CH=BC=4，
∴AH==3，
∴△ABC的面积=×BC•AH=×8×3=12．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，我区某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩8名学生没老师带；若每位老师带队32名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2320元．请解决下列问题：
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有6人，学生有188人
（2）见解析 （3）2160元
【解析】
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，学生有y人，根据“若每位老师带队30名学生，则还剩8名学生没老师带；若每位老师带队32名学生，就有一位老师少带4名学生”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，根据租用的6辆客车载客量不少于人，学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2320元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）利用租车总费用=每辆甲型客车的租金×租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租金×租用乙型客车的数量，可分别求出选择各租车方案所需租车总费用，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，学生有y人，
根据题意得：
解得：
∴参加此次劳动实践活动的老师有6人，学生有188人；
【小问2详解】
设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，
根据题意得：，
解得：
又∵m为非负整数，
∴m可以为3，4，5，
∴学校共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲型客车，3辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，2辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车，1辆乙型客车；
【小问3详解】
选择方案1所需租车总费用为400×3+320×3=2160（元）；
选择方案2所需租车总费用为400×4+320×2=2240（元）；
选择方案3所需租车总费用为400×5+320×1=2320（元）；
∵2160＜2240＜2320，
∴学校租车总费用最少是2160元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
25. 已知：如图1、，直线EF分别交，于点E、F．的平分线与的平分线交于点G．
（1）求的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点M，直接写出的度数；
（3）如图3，，直线EF分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点P，试探究与满足的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）利用基本结论，求解即可．
（3）利用基本结论，求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，∵，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点G，
∴
∴
在中，
【小问2详解】
如图2中，由（1）得，，
∵的平分线与的平分线交于点M，
∴
∴，
【小问3详解】
结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
∵平分线与的平分线交于点P，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26. 【阅读理解】
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：延长至，使，连接．
（1）在中，利用三角形三边关系即可判断的取值范围是______；

【问题解决】
如图2，中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接．
（2）求证：；

【问题拓展】
如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接．

（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）如图1：证，得出，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图2：延长到，使得，连接，，证，得出，利用证明，可得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）将绕着点按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为；
（2）证明：如图：延长到，使得，连接，，

∵点是的中点，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∵，，，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕着点按逆时针方向旋转得，
∴，

∴
∴
∵，
∴，
∴点、、三点共线
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键．转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域的次数m
60
122
240
298
b
604
落在“可乐”区域的频率”
0.6
0.61
0.6
a
0.59
0.604
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320