2023-2024学年内蒙古赤峰二中高三上学期第四次月考试题数学（理）含答案

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考试时间：分钟 全卷满分：分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择 题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，，若，则的值是（ ）

设为虚数单位，复数满足，则（ ）

已知，，则（ ）

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


已知函数（且）是奇函数，则（ ）

新高考按照“” 的模式设置，其中“”为语文，数学、外语门必考科目，“” 由考生在物理、历史门科目中选考门科目，“” 由考生在化学、生物，政治，地理门科目中选考门科目。若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）

如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，分别为棱的中点，则（ ）
直线，都与平面平行
直线，都与平面相交
直线与平面平行，直线与平面相交
直线与平面相交，直线与平面平行
将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在 上单调递增，则的取值范围是（ ）

设是单位向量，且，则的最小值为（ ）

已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球面上，且平面，, ，，是边上一动点，则直线与平面所成的最大角的正切值为（ ）

如图，已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）


已知实数，且，则（ ）

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
已知的展开式中的系数为，则实数 。
设等比数列的前项和是。已知,，则 。
已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则 。
已知是锐角三角形，若，则的取值范围是 。
三、解答题：共分。解答题写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。第题为必考题，每个试题考生都必修作答。第、题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共分。
（分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题。
已知正项数列的前项和为，，且 ，。
（1）求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，证明：。
（分）年月日第届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目。为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，。
（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？
（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人，设抽取的人中男生的人数为，求的分布列和数学期望。
参考公式：，。
附：
（分）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，。
（1）求证：平面平面；
（2）棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
（分）已知椭圆的离心率为 ，上、下顶点分别为，右顶点为，且的面积为。
（1）求的方程；
（2）若点为上异于顶点的一点，直线与交于点，直线交轴于点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由。
（分）已知函数和有相同的最大值。
（1）求实数的值；
（2）证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列。
（二）选考题：共分。请考生在第、题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 。
【选修：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为。
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值。
【选修：不等式选讲】
设。
（1）求的解集；
（2）若的最小值为，且，，求的最小值。
了解
不了解
合计
男生
女生
合计