2024届湖北省黄冈市部分普通高中高三上学期阶段性教学质量监测数学试题含答案

这是一份2024届湖北省黄冈市部分普通高中高三上学期阶段性教学质量监测数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．iB．1C．D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.
【详解】设复数，，
又，可得，解得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2．已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求解集合B，再根据集合的运算分析区间端点的关系求解即可
【详解】由题意可得.因为，所以解得
故选：C
3．已知向量，，设，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后利用诱导公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
4．在平行四边形中，点、分别在线段和上，满足，，若，则实数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由平面的向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，，
则，所以，
同理，
所以，
，
又因为，
所以，解得：.
故选：B.
5．大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H，G，L，Y四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A为“甲和乙至少一人选择景点G”，事件为B“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出事件A发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.
【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中各随机选择一个游玩，共有种，
其中事件A的情况有种，事件A和事件B共同发生的情况有种，
所以，，所以.
故选：A.
6．数列满足，，，，设，则数列的前10项和为（ ）
A．1B．0C．5D．
【答案】B
【分析】由数列的性质求出通项，得数列的通项，可求前10项和.
【详解】数列满足，，，，
数列中，奇数项构成首项为1公比为-1的等比数列，偶数项构成首项为-1公比为-1的等比数列，
则，，可得，，
由，则为奇数时，；为偶数时，，
所以数列的前10项和为0.
故选：B
7．若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义可得，再写出二项式的通项，可得常数项.
【详解】由，可知，
所以二项式为，
其展开式的通项为，
令，即，
所以常数项为，
故选：B.
8．已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．，使得
B．方程有两个不同实根，则实数的取值范围是
C．，使得
D．若，则实数的取值范围是
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可判断A；方程有两个不同实根，即与的图象有两个交点，求出的值域可判断B；由题意证得对可判断C；分类讨论，，，与的大小可判断D.
【详解】对，都有
所以，为奇函数，A错；
当时，，
易知在上单调递增，此时，
当时，，
在上单调递减，此时
时，，
时，，
而，所以，方程仅有一根，B错；
时，，
此时
=
而函数在上单调递增，得时，
所以对，C错；
综上，时，，此时
时，，此时
时，，此时，D对.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
二、多选题
9．已知实数、满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质，判断在已知条件下结论是否正确.
【详解】因，所以，A选项正确；
因，函数在R上单调递增，时，B选项正确；
由，，所以，C选项正确；
由于，，则，，，
，由，等号不成立，
则，所以，D选项错误.
故选：ABC
10．下列命题中是真命题的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则函数的图象必定不经过第一象限
C．在中，“”是“”的充要条件
D．对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与对数运算判断A；根据指数函数图像与函数图像变换判断B；根据三角函数诱导公式判断C；根据新定义对两个条件正反推断来判断选项D.
【详解】对于选项A：
由，，得，，
则，
故选项A正确；
对于选项B：
，，
函数的图像是单调递减的指数函数向下平移大于1个单位，
草图如下：
函数的图象不经过第一象限，
故选项B正确；
对于选项C：
在中，若，则,则，
反之，若，则或，
则或,则不一定成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选项C错误；
对于选项D：
根据题意，若，则必有，故，
反之，若，取，，则，故不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选项D正确；
故选：ABD.
11．函数，设为的导函数，的图象与直线相交，其中有三个相邻的交点、、满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．对，都有
B．将函数图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，即得函数的图象
C．为偶函数，则正实数的最小值为
D．在上单调递增
【答案】AD
【分析】根据已知结合的图象得出，代入解得，即可根据三角函数值域判断A；根据函数图象变换判断B；根据三角函数偶函数的判定求解后判断C；根据三角函数的单调区间求法判断D.
【详解】由，得，
令，则取得最大值时的，
的图象与直线相交，其中有三个相邻的交点、、满足，
结合的大致图象可以得到，，
，
，
，即，
对于选项A：，，
，故A正确；
对于选项B：，，
的图象向右平移个单位长度，得到，
再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到，与不符，故B错误；
对于选项C：若为偶函数，
则，即，
则正实数的最小值为，故C错误；
对于选项D：令，解得，
即的单调递增区间为，
令，得，
，
在上单调递增，故D正确；
故选：AD.
12．已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．过点的切线方程
C．对，不等式恒成立
D．若为函数的极值点，则
【答案】ACD
【分析】由条件①结合导数的运算法则可设，再由条件②，求得，选项A，B易判断；对C，构造函数，利用导数证明即可；对D，利用导数判断极值点的范围，即可得证.
【详解】恒有，
，
可设（其中C为常数），
又对任意的正数恒有，
对任意的正数恒有，
，
，
，即，
对于A，由上式可得，故A正确；
对于B，，设切点为，则切线斜率为，
，化简得，解，
所以点 就是切点，所以切线方程为，故B错误；
对于C，令，，则，
令，可得，，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以，对恒成立，故C正确；
对于D，设，，
在上单调递增，且，，
所以使在上单调递减，在上单调递增，
为函数的极小值点且满足，，
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得，可设，再由条件②，代入运算求得，再根据导数知识可依次判断各个选项得解.
三、填空题
13．公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【分析】由等比数列性质得，求值即可.
【详解】公比为2的等比数列，，
则.
故答案为：
14．函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的零点个数，转化为方程的根的个数，求解参数范围.
【详解】由在上有两个零点，
则在上有两个实数根,
所以,,
又因为，
所以在上有两个不同的实数根,
则.
故答案为：.
15．甲袋中有个苹果，个橘子，乙袋中有3个苹果，2个橘子，现从甲袋中随机取一个水果放在乙袋，再从乙袋中随机取一个水果，若从乙袋中取出的水果是苹果的概率为，则的最小值为 ．
【答案】7
【分析】分情况求从乙袋中取出的水果是苹果的概率，求和化简可得，，再结合对勾函数的单调性可得最小值.
【详解】从甲袋中取处的水果为苹果且从乙袋中取出的水果是苹果的概率为，，，
从甲袋中取处的水果为橘子且从乙袋中取出的水果是苹果的概率为，，，
所以，，，
即，，
则，，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以当时，取最小值为，
故答案为：.
16．已知函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意，只需不等式恒成立即可，令，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由恒成立，可得，此时直线恒在直线上方，
不等式恒成立只需不等式恒成立即可，
令，则，由可得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用反函数的性质，结合恒成立，得到，再将所求不等式恒成立转化为恒成立.
四、解答题
17．在中，点为边上一点，满足，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先，根据已知条件求，利用正弦定理解三角形求；
（2）先求，再根据范围求角.
【详解】（1），，且，,
则，，
，；
，，
，，
，
,，解得：.
（2）
，
而.
五、应用题
18．随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
(1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
完成列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关．
(2)为了解某一地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为．求与的相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销量与年份的相关性强弱；
参考公式：（i）线性回归方程：，其中，；
（ii）相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
（iii），其中．
附表：
【答案】(1)表格见解析，有关
(2)0.94，与线性相关较强.
【分析】（1）完成列联表，再根据列联表中的数据以及公式进行计算求解即可；
（2）由相关系数的公式代入求解即可.
【详解】（1）由题可知：
零假设为：选择新能源汽车与车主性别相互独立，即选择新能源汽车与车主年龄无关．
所以，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.
由此推断犯错误的概率不大于，故至少有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.
（2）相关系数为
所以，故与线性相关较强.
六、解答题
19．数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）由数列是公差为的等差数列求出，再由时，即可求解；
（2）数列是等比数列，根据前项和的单调性求最大值与最小值．
【详解】（1）数列是公差为的等差数列，
，，
，
时，，
又符合上式，
．
（2），数列是首项为，公比为的等比数列，
，
①当为奇数时，，
此时为单调递减数列，，
②当为偶数时，，
此时为单调递增数列，，
综上①②，的最小值为，最大值为.
20．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)，，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换及正弦定理可得，，再根据，求解即可；
（2）设则有，，从而得，令，由三角恒等变换及辅助角公式，求出的最大值，即可得答案.
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
由正弦定理，可得，
因为，可得且，
所以，则，所以，
因为，所以，
则.
（2）解：设
在中，，
在中，，
由得，
，
令，
其中，
所以当即时，，
所以.
21．为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下：
(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
(2)若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；
(3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）．
已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若，则，，
【答案】(1)
(2)1587
(3)或
【分析】（1）由表可知，现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分包含的基本事件的个数为，利用古典概型公式即可得解.
（2）根据正态分布区间概率公式求解即可.
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则且，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，所以，列出甲答完n题后的最终得分为，即可得出结果.
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为；
（2）因为，所以，
故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为；
（3）以随机变量表示甲答对的题数，
则且，
记甲答完题所加的分数为随机变量，
则，所以，
依题意为了获取答道题的资格，
甲需要的分数为：，
设甲答完题后的最终得分为，
则
.
由于，所以当或时，取最大值.
即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多.
【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力.
七、证明题
22．已知关于的方程有两个不同实根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，将问题转化为方程在有两根，然后构造函数求最值，即可得到结果；
（2）根据题意，构造函数，可得在单调递增，即可得到，从而得到证明.
【详解】（1）方程，
令，函数在单调递增且，
方程在有两根，
可转化方程在有两根，其中，
令，则在为减函数，在为增函数，
又时，；时，，.
（2）不妨设两根，则，，
令则，
在单调递增，时，，
由得，，
而在单调递减，且，
所以，所以，
，
，又，
，而在单调递增，
.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，以及利用导数证明不等式，难度较大，解答本题的关键在于构造函数，通过函数的最值或者单调性解决问题.
选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
70
40岁以上（包含40岁）
60
100
合计
200
选择新能源汽车
选择传统汽车
合计
40岁以下
70
30
100
40岁以上（包含40岁）
40
60
100
合计
110
90
200
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6