2024届福建省泉州市第六中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届福建省泉州市第六中学高三上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，双空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出，再结合复数的概念求解作答.
【详解】依题意，，
因为复数是纯虚数，且，则且，解得，
所以.
故选：D
2．已知集合，集合则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质结合分式不等式的求解即可得到答案.
【详解】因为，则，所以
因为，则，解得，所以，
所以，
故选：B.
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得，
则．
故选：C
4．设3x＝4y＝36，则的值为（ ）
A．6B．3
C．2D．1
【答案】D
【解析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可.
【详解】由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
故选：D
【点睛】本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
5．同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】对于A，由得，即在定义域上递增，不符合；
对于B，由得，
在上，在上，在上，
所以在、上递减，上递增，符合；
对于C，由且定义域为，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；
对于D，由且定义域为R，为奇函数，
研究上性质：，故在递增，
所以在R上递增，不符合；
故选：B
6．如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为
A．5米B．(4＋)米
C．(4＋)米D．(4＋)米
【答案】D
【分析】以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为，圆上最低点离地面1米，秒转动一圈，可得到与间的函数关系式，求出的坐标，即可求出点到点的距离与点的高度之和.
【详解】以圆心为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向，
建立平面直角坐标系，如图所示．
设∠OP＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)，又T＝12，
∴θ＝t，∴f(t)＝3－2cs t，t≥0，
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，
θ＝6π＋，P(，1)，
∴点P的高度为3－2×＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝＝，
∴点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米，故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的实际应用,意在考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
7．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
8．若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】设
切线：，即
切线：，即，
令
在上单调递增，在上单调递减，
所以
故选：A．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量是D．在上的投影向量是
【答案】BC
【分析】根据向量的坐标运算求出，，即可求出数量积以及模，判断A、B项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项.
【详解】由已知可得，，.
对于A项，因为，故A项错误；
对于B项，因为，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，， ，
所以在上的投影向量是，故C项正确；
对于D项，，，
所以在上的投影向量是，故D项错误.
故选：BC.
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．为函数的一个周期
B．是曲线的一个对称中心
C．若函数在区间,上单调递增，则实数的最大值为
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象
【答案】AD
【分析】A根据是否成立判断；B整体法求函数零点横坐标即可判断；C由正弦函数性质求增区间，结合已知确定参数最大值；D由图象平移写出平移后的解析式，进而判断奇偶性.
【详解】A：由已知得，
所以为函数的一个周期，正确；
B：令，解得，
显然不是曲线的一个对称中心，错误；
C：由，得，
令得：，因为在区间,上单调递增，
所以实数的最大值为，错误；
D：将向右平移个单位长度后，得，
因为，且的定义域为，所以函数为偶函数，正确．
故选：AD
11．已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A．B．4是的一个周期
C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知整理可得，赋值即可判断A项；根据复合函数的求导法则，即可得出，，从而得出的对称性以及周期性，进而判断B、C项；由A得出，赋值分组求和，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知，，
可得，，
整理可得，.
当时，有；
当时，有；
当时，有.
所以，，故A项错误；
对于B项，由已知可得，，
两边同时求导可得，，，
所以，，.
所以，关于直线对称，关于点对称，
所以，4是的一个周期，故B正确；
对于C项，由B知，.
当时，有，故C项正确；
对于D项，由A知，.
所以有，，，，，.
又时，代入，即可得出，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：D项，赋值得出数据，找出规律，然后分组求和.
12．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得，，
易知，则，，
则在有解，
求导得：，令，解得，可得下表：
则当时，取得最大值为，
，
则的取值范围为，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以的值可以是，，.
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
三、填空题
13．已知，则的值为 .
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式求解.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
14．写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据周期,对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.
【详解】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，
综上，符合题意
故答案为：.
四、单空题
15．在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
【答案】6
【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函数关系得，结合面积公式即可求解.
【详解】因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，且，所以，
又，所以，设，
则由余弦定理得，
，
所以，化简得，解得，所以，
所以，所以，
.
故答案为：6
五、双空题（新）
16．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递 （填增或减），函数的零点个数为 ．
【答案】 增 9
【分析】①根据在上具有单调性得到，根据为的一个零点得到，综合可得，，然后根据复合函数的单调性判断即可；②将的零点个数转化为的图象与图象的交点个数，然后根据图象求交点个数即可.
【详解】因为在上具有单调性，
所以，即，．
又因为，
所以，即，
只有，符合要求，此时．
当时，，
所以在上单调递增．
因为的最大值为1，而，，
作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．
故答案为：增；9.
六、问答题
17．已知函数，
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)若方程在定义域上有两个不同的根，求出实数k的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为；对称轴方程为
(2)
【分析】（1）先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
（2）由已知可转化为与的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1），
则的最小正周期，
令，解得，
所以的对称轴方程.
（2）由，可得，
而函数在上单调递增，所以，在上单调递减，，
所以若方程在上有两个不同的根，即与有两个交点，如图：
由图知，即.
18．如图，函数的图象最高点M（2，2）与最低点N的距离．

(1)求函数f（x）的解析式；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最高点得，根据长度关系求解周期得，代入特殊点的坐标求解，从而求得函数的解析式；
（2）由（1）代入得，由角的范围求得.再运用余弦两角差可求得答案.
【详解】（1）根据题意，由，可得，
又，
所以，
∴，解得.
又，，且，∴.
所以；
（2）由（1）知，函数，
所以，得，
又，所以，所以，
所以
.
19．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
20．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.
【答案】(1)2
(2)0
【分析】（1）求出导函数，利用切线的斜率建立方程求解即可；
（2）把恒成立问题转化为，求出导函数，利用函数的单调性结合余弦函数求解最值范围，即可求解的最大值.
【详解】（1）由得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，所以；
（2）因为在恒成立，所以，
当时，，则，
记，，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，
所以，使得，即，
故在上单调递减，上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
因为，所以，所以的最大值为0.
21．国庆期间，某小区为了增添节日氛围，决定对小区的健身步道进行装饰．如图是一个半径为1百米，圆心角为的扇形区域，点C是半径OB上的一点，点D是圆弧上一点，且．现决定在线段CD，圆弧的一侧铺设灯带，线段OC的两侧铺设灯带，且每百米a元．设，，灯带的总费用y元．

(1)求y关于的函数解析式；
(2)当为何值时，灯带费用y最大，并求出费用y的最大值．
【答案】(1)，
(2)当为时，费用y最大，最大值为百元
【分析】（1）根据题设，可得，利用正弦定理及弧长公式得到，，，再根据条件即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，即可求出结果.
【详解】（1）由题，可得，，，
在中，由正弦定理知，，
所以，，，
又扇形BOD中，，
所以
，
（2）由（1）得
令，得到
又因为，所以
∴时，（百元）
故当为时，费用y最大，最大值为百元．
七、证明题
22．已知函数，．
(1)当时，恒成立，求a的取值范围．
(2)若的两个相异零点为，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可.
（2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可.
【详解】（1）当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设，
所以，即，
，
设，
则，
所以，当时，，即在上单调递增，
所以，
所以当时，，即在上单调递增，
所以，
若恒成立，则．
所以时，恒成立，a的取值范围为.
（2）由题意知，，
不妨设，由得，
则，
令，
则，即：．
要证，
只需证，
只需证，
即证，
即证（），
令（），
因为，
所以在上单调递增，
当时，，
所以成立，
故．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
极大值
0
y
单调递增
极大值
单调递减