2023-2024学年江西省上饶一中“三新”协同教研共同体高三上学期12月联考数学word版含答案

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1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
8.B
10.ACD
11.BC
12.BC
13.6
14.20
15.xex(答案不唯一,形如xaxa>1均可)
16.3+52
17.解:(1)在△BCD中,由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,
则CD=BDsin∠CBDsin∠BCD=5sin60∘14=103.
(2)因为AD//BC,所以∠ADB=∠CBD=60∘.
由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cs∠ADB=19,
则AB=19,
所以cs∠ABD=AB2+BD2-AD22AB⋅BD=41919.1
18.(1)证明:在正方形ABCD中,CD=AB=3.
因为CD2+PD2=PC2,所以CD⊥PD.
在正方形ABCD中,CD⊥AD.
因为PD∩AD=D,所以CD⊥平面PAD.
又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.
（2）解:由(1)知CD⊥平面PAD,则CD⊥PA,则AB⊥PA.
因为AD⊥PA,AD⊥AB,AB∩PA=A,所以AD⊥平面PAB.
以A为坐标原点,AB,AP,AD的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则P0,7,0,B3,0,0,E2,0,3,C3,0,3,D0,0,3.设平面PCD的法向量为m=x,y,z,DC=3,0,0,PD=(0,-7,3),则
m⋅DC=3x=0,m⋅PD=-7y+3z=0,
令z=7,得m=0,3,7.
因为BE=-1,0,3,所以cs⟨m,BE⟩=m⋅BEmBE=374×10=37040,
所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为37040.
19.解:(1)由表可知该地居民中青少年寒假去庐山旅游的概率为0.1+0.05=0.15,.
该地居民中中年人寒假去庐山旅游的概率为0.3+0.1=0.4,
该地居民中老年人寒假去庐山旅游的概率为0.2+0.1=0.3,
所以根据全概率公式可得,此人寒假去庐山旅游的概率为0.15×33+4+3+0.4×43+4+3+0.3×33+4+3=0.295.
(2)由表可知该地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分别为0.2+0.1,0.3+0.1,即0.3,0.4.X的可能取值为0,1,2,
则X的分布列为
【注】第(1)问中,得到所求概率为0.15×33+4+3+0.4×43+4+3+0.3×33+4+3,但最后的结果计算错误,扣.
20.(1)证明:当n∈N*时,线段AnAn+1的中点为Bn+2,Bn+2an+an+12,bn+bn+12,
则An+2bn+bn+12,an+an+12.由an+2=bn+bn+12,bn+2=an+an+12,得an+2+bn+2=an+bn+an+1+bn+12,
所以an+2+bn+2-an+1-bn+1=-an+1+bn+1-an-bn2,即cn+1=-12cn.因为c1=a2+b2-a1-b1=2,所以cn是以2为首项,-12为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知cn=2×-12n-1,即an+1+bn+1-an-bn=2×-12n-1,
则a2+b2-a1-b1=2×-120,a3+b3-a2-b2=2×-121,,an+bn-an-1-bn-1=2×-12n-2n≥2,
将以上各式相加得an+bn-a1+b1=2-120+-121++-12n-2
=2×1--12n-11--12=43-43×-12n-1.
因为a1+b1=3,所以an+bn=133-43×-12n-1.
当n=1时,a1+b1=3也符合上式,故an+bn=133-43×-12n-1.
21.解:(1)设Px,y,则Ex,0,Fx,-x24,
则PE=y,EF=-x24=x24.
因为PE2+EF=1,所以x24+y2=1,所以C为椭圆.
(2)由题可知切线的斜率存在,设切线方程为y=kx-1,圆Q:x-12+y2=r200.
所以fx在-1,0上单调递减,在0,+∞上单调递增.
(2)解:∀x∈0,π2∪π2,π,sinx∈0,1,1+cs2x>1.
当a≤1时,asinx1,所以a≤1满足题意.
当a>1时,由(1)知当01n1-sinx.
故1-sinx121-sinx⋅1-sinx131-sinx⋅⋅1-sinx1n1-sinx>121-sinx1-sinx⋅131-sinx1-sinx⋅.1n1-sinx1-sinx=1n!,
即1-sinx1-3sinx1-nsinx1-sinxn-1>1n!.X
0
1
2
P
0.42
0.46
0.12