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甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题(含答案)
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这是一份甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本试卷命题范围，已知直线与是曲线的两条切线，则，已知向量，下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2024.1
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.下列可能是函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ）
A. B. C. D.
6.记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. B. C.1 D.3
7.甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲､乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线与是曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C.4 D.无法确定
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.当时，与的夹角为锐角
D.若，则与的夹角的余弦值为
10.若一组不完全相同的数据的平均数为，极差为，中位数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D.为等腰三角形
12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中是非零常数，无理数2.），对于函数，以下结论正确的是（ ）
A.是函数为偶函数的充分不必要条件
B.是函数为奇函数的充要条件
C.如果，那么为单调函数
D.如果，那么函数存在极值点
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上（不含90分）的学生人数为__________.
14.与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________.
15.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有__________个.（用数字作答）
16.正方体的棱长为3，点分别在线段和线段上，且，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为__________.
四､解答题：本大题共6小题､共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知数列是由正数组成的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
18.（12分）
记的内角的对边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若点在边上，且，求.
19.（12分）
某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：
（1）现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用表示其中“会主动预习”的学生的人数，求的分布列与数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.
参考数据､附表及公式：.
20.（12分）
如图，在五面体中，已知平面，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
瓜州县重点中学2023—2024学年度第一学期期末考试试卷·高三数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为全集，集合，则.
2.D 因为，所以.
3.B 双曲线的焦距为，点在的渐近线上，解得1，所以双曲线方程为：.
4.C 函数定义域为，排除选项，当时，，排除选项.
5.A 根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，若其侧面展开图是面积为的半圆，则有解得：，则该圆锥的高，故该圆锥的体积，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分，则下部分圆台体积占原来圆锥体积的，故所得的圆台体积为.
6.C 函数的最小正周期为，则，由，得的图象关于点中心对称，，且，则，取，可得，则.
7.D 设事件表示“甲能解答该问题”，事件表示“乙能解答该问题”，事件表示“这个问题被解答”，则，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确解答该问题的概率为：.
8.A 曲线的切线过时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，则，切线，切线过，则.同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，切线过，，则.
9.ABD 对于A：若，因为，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时，，此时，所以与共线同向，故C错误；对于：若时，，则，所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确.
10.AB ，因此平均数不变，故A正确；中最大值和最小值不变，极差不变，故B正确；如果原来是偶数个数，中位数是中间两个数的均值，现在变成奇数个数，中位是中间的一个数，两个中位数可能不相等，中位数可能改变，而方差为，故CD错误.
11.AC 直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于两点，直线方程代入抛物线方程可得：，所以，所以不正确；的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，所以不是等腰三角形，所以不正确.
12.BCD 对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为偶函数；当函数为偶函数时，，故，即，又，故，所以是函数为偶函数的充要条件，故A选项错误；对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为奇函数，当函数为奇函数时，，因为，故.所以是函数为奇函数的充要条件，故B选项正确；对于选项，因为0，若，则恒成立，则为单调递增函数，若，则恒成立，则为单调递减函数，故时，函数为单调函数，故C选项正确；对于选项，，令得，又，若，当，，函数单调递减.当，函数单调递增.函数存在唯一的极小值.若，当，函数为单调递增.当，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值，所以函数存在极值点，故D选项正确.
13.8 由（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分以上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.
14.或 由圆心在直线上，可设圆心为，由圆与两坐标轴都相切，可得，解得，或.若，则圆心为，半径为6，圆的方程为；若，则圆心为，半径为2，圆的方程为.
15.225 依题意，只要确定万､千､百位上的数字，该回文数即可确定，又有且仅有两位数字是奇数，则①万位上是奇数，千位､百位上是偶数，有种；②万位上是不为0的偶数，千位上是奇数､百位上是偶数，有种，故在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.
16. 如图，在上取点，使得，在上取点，使得，连接.根据正方体的性质可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以四边形为平行四边形，所以，且.同理可得，，且.根据正方体的性质可知，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.同理可得，面.因为平面平面，所以平面平面.又平面平面，所以根据面面平行的性质定理可知，只有在线段上运动时，满足条件.过点作，垂足为，易知，且，所以.
17.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，
是由正数组成的等比数列，则，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.
（2），
所以
.
18.解：（1）因为，所以.
（2）因为点在边上，且，所以，又因为
.
所以在中，由余弦定理
，可得
.
19.解：（1）依题意，随机变量，随机变量的分布列为：
所以的数学期望是.
（2）提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关.
，
因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.
20.（1）证明：分别取的中点，连接，
分别是的中点，，且，
又，且，
且，可得四边形是平行四边形，可知，
，
平面平面，
平面，
平面，结合，得平面，
又平面平面平面.
（2）解：由（1）知平面即，
以所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标
系，如图所示，可得.
所以，设是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一个法向量，
.
若与平面的所成角为，则，可得.
直线与平面的余弦值为.
21.解：（1）由题意可得解得椭圆的方程为.
（2）设直线为，联立椭圆整理得：
，设，又，
则且，即，
，
直线可化为，即，
直线过定点.
又于，
为直角三角形，且斜边，
存在的中点，使得.
22.（1）解：函数的定义域为，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以，
所以函数在上单调递增.
（2）证明：原不等式为，即，即证在上恒成立.
设，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
所以.
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，所以.
且在上有所以可得到，即，
所以在时，有成立.
主动预习
不太主动预习
合计
学习兴趣高
18
7
25
学习兴趣一般
6
19
25
合计
24
26
50
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
2024.1
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.下列可能是函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ）
A. B. C. D.
6.记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. B. C.1 D.3
7.甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲､乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线与是曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C.4 D.无法确定
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.当时，与的夹角为锐角
D.若，则与的夹角的余弦值为
10.若一组不完全相同的数据的平均数为，极差为，中位数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D.为等腰三角形
12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中是非零常数，无理数2.），对于函数，以下结论正确的是（ ）
A.是函数为偶函数的充分不必要条件
B.是函数为奇函数的充要条件
C.如果，那么为单调函数
D.如果，那么函数存在极值点
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上（不含90分）的学生人数为__________.
14.与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________.
15.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有__________个.（用数字作答）
16.正方体的棱长为3，点分别在线段和线段上，且，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为__________.
四､解答题：本大题共6小题､共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知数列是由正数组成的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
18.（12分）
记的内角的对边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若点在边上，且，求.
19.（12分）
某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：
（1）现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用表示其中“会主动预习”的学生的人数，求的分布列与数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.
参考数据､附表及公式：.
20.（12分）
如图，在五面体中，已知平面，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
瓜州县重点中学2023—2024学年度第一学期期末考试试卷·高三数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为全集，集合，则.
2.D 因为，所以.
3.B 双曲线的焦距为，点在的渐近线上，解得1，所以双曲线方程为：.
4.C 函数定义域为，排除选项，当时，，排除选项.
5.A 根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，若其侧面展开图是面积为的半圆，则有解得：，则该圆锥的高，故该圆锥的体积，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分，则下部分圆台体积占原来圆锥体积的，故所得的圆台体积为.
6.C 函数的最小正周期为，则，由，得的图象关于点中心对称，，且，则，取，可得，则.
7.D 设事件表示“甲能解答该问题”，事件表示“乙能解答该问题”，事件表示“这个问题被解答”，则，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确解答该问题的概率为：.
8.A 曲线的切线过时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，则，切线，切线过，则.同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，切线过，，则.
9.ABD 对于A：若，因为，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时，，此时，所以与共线同向，故C错误；对于：若时，，则，所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确.
10.AB ，因此平均数不变，故A正确；中最大值和最小值不变，极差不变，故B正确；如果原来是偶数个数，中位数是中间两个数的均值，现在变成奇数个数，中位是中间的一个数，两个中位数可能不相等，中位数可能改变，而方差为，故CD错误.
11.AC 直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于两点，直线方程代入抛物线方程可得：，所以，所以不正确；的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，所以不是等腰三角形，所以不正确.
12.BCD 对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为偶函数；当函数为偶函数时，，故，即，又，故，所以是函数为偶函数的充要条件，故A选项错误；对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为奇函数，当函数为奇函数时，，因为，故.所以是函数为奇函数的充要条件，故B选项正确；对于选项，因为0，若，则恒成立，则为单调递增函数，若，则恒成立，则为单调递减函数，故时，函数为单调函数，故C选项正确；对于选项，，令得，又，若，当，，函数单调递减.当，函数单调递增.函数存在唯一的极小值.若，当，函数为单调递增.当，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值，所以函数存在极值点，故D选项正确.
13.8 由（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分以上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.
14.或 由圆心在直线上，可设圆心为，由圆与两坐标轴都相切，可得，解得，或.若，则圆心为，半径为6，圆的方程为；若，则圆心为，半径为2，圆的方程为.
15.225 依题意，只要确定万､千､百位上的数字，该回文数即可确定，又有且仅有两位数字是奇数，则①万位上是奇数，千位､百位上是偶数，有种；②万位上是不为0的偶数，千位上是奇数､百位上是偶数，有种，故在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.
16. 如图，在上取点，使得，在上取点，使得，连接.根据正方体的性质可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以四边形为平行四边形，所以，且.同理可得，，且.根据正方体的性质可知，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.同理可得，面.因为平面平面，所以平面平面.又平面平面，所以根据面面平行的性质定理可知，只有在线段上运动时，满足条件.过点作，垂足为，易知，且，所以.
17.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，
是由正数组成的等比数列，则，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.
（2），
所以
.
18.解：（1）因为，所以.
（2）因为点在边上，且，所以，又因为
.
所以在中，由余弦定理
，可得
.
19.解：（1）依题意，随机变量，随机变量的分布列为：
所以的数学期望是.
（2）提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关.
，
因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.
20.（1）证明：分别取的中点，连接，
分别是的中点，，且，
又，且，
且，可得四边形是平行四边形，可知，
，
平面平面，
平面，
平面，结合，得平面，
又平面平面平面.
（2）解：由（1）知平面即，
以所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标
系，如图所示，可得.
所以，设是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一个法向量，
.
若与平面的所成角为，则，可得.
直线与平面的余弦值为.
21.解：（1）由题意可得解得椭圆的方程为.
（2）设直线为，联立椭圆整理得：
，设，又，
则且，即，
，
直线可化为，即，
直线过定点.
又于，
为直角三角形，且斜边，
存在的中点，使得.
22.（1）解：函数的定义域为，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以，
所以函数在上单调递增.
（2）证明：原不等式为，即，即证在上恒成立.
设，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
所以.
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，所以.
且在上有所以可得到，即，
所以在时，有成立.
主动预习
不太主动预习
合计
学习兴趣高
18
7
25
学习兴趣一般
6
19
25
合计
24
26
50
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
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