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天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)（老教材版）理科数学试题
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这是一份天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)（老教材版）理科数学试题，共14页。试卷主要包含了设函数，数列，满足，则，通过验血诊断某疾病的误诊率，函数的单调递增区间为等内容，欢迎下载使用。
2024届高中毕业班第二次考试
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
4．设函数，数列，满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
8．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． c． D．
9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆的离心率为，则______．
14．已知满足约束条件，则的最小值是______．
15．在正四棱柱中，，平面与棱分别交于点，其中分别是的中点，且，则______．
16．已知，若，则的最小值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：
（Ⅰ）是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
18．（12分）
如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（12分）
在数列中，已知．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
20．（12分）
已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；
（Ⅱ）若，当时，，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若与曲线交于两点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设，若的最小值为2，求的最小值．
理科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 D
命题意图 本题考查复数的基本概念和运算．
解析 ，故．
2．答案 C
命题意图 本题考查集合的运算．
解析 因为，所以．
3．答案 B
命题意图 本题考查平面向量的数量积．
解析 ，因为，所以，得．
4．答案 C
命题意图 本题考查数列的概念与性质．
解析 由题意知，可知．
5．答案 C
命题意图 本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．
解析 由题意得，则，所以，故，又，所以．
6．答案 A
命题意图 本题考查概率的计算．
解析 未患病者的诊断结果为阴性的概率为，患病者的诊断结果为阴性的概率为q，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为．
7．答案 A
命题意图 本题考查排列与组合的应用．
解析 先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为．
8．答案 D
命题意图 本题考查函数的单调性．
解析 由，得，所以的定义域为．设，易得在上单调递减．当，即时，，此时单调递减，当，即时，，此时单调递增，所以的单调递增区间为．
9．答案 B
命题意图 本题考查圆柱与圆锥的结构特征．
解析 设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得，因为圆锥的侧面积为，所以．故该几何体的体积为．
10．答案 D
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 令，得，又，所以只能是，得，在区间内，有共3个零点．
11．答案 A
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 设，显然，则，所以的离心率．由于，所以，所以的取值范围是．
12．答案 B
命题意图 本题考查函数的零点、导数的几何意义．
解析 有两个不同的零点，等价于曲线与有两个不同的交点，当时，，二者不可能有交点，只需考虑时的情况．设，若，则，易知曲线与直线在点处相切；若，当时，，所以，所以曲线与直线没有交点；若，则，所以，曲线与直线有两个交点．综上可得，满足条件的的取值范围是．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查椭圆的性质．
解析 因为，所以，解得．
14．答案
命题意图 本题考查简单的线性规划问题．
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线过点时取得最小值，且．
15．答案 3
命题意图 本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．
解析 因为平面经过棱的中点，所以四边形为菱形，且易证．又因为，所以平面，所以，且经过的中点．在矩形中利用三角形相似可计算得．
16．答案
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．
解析 由题意知，由题意知，因此．所以，当且仅当，即时等号成立．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．
解析 （Ⅰ）因为，
因为，所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．
（Ⅱ）选出的男性人数为，选出的女性人数为，
由题意可得的所有可能取值为0，1，2，
，
故的分布列为
所以的数学期望．
18．命题意图 本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．
解析 （Ⅰ）因为，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
在矩形中，为的中点，
所以，根据勾股定理可得．
因为，所以平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，由得
令，则．
同理可得平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，
故，即二面角的余弦值为．
19．命题意图 本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．
解析 （Ⅰ）因为，
所以．
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
设前项和为，
则，
，
两式相减可得
，
所以．
20．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题可得，解得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的方程为．
由题意可知直线不与轴平行，设直线的方程为，则．
联立方程得整理可得，
则，且①，②．
，同理可得．
由题意得，即，
将①②代入可得，即．
故直线的方程可化为，即，
直线过定点．
因为于点，所以点在以为直径的圆上，
故存在的中点，即，使得，为定值．
21．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
解析 （Ⅰ），
可得在上单调递减，在上单调递增．
令，作出与的大致图象如图所示，
因为存在唯一的负整数，使得，则，
故即，
故的取值范围为．
（Ⅱ）根据题意，对恒成立，
等价于对恒成立．
令，则有，
令，
则，所以在上单调递增，
又时，时，，
从而存在唯一的，使得，
即，
可得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
故原不等式恒成立只需，
即．
构造函数，
可得，
当时，令，因为，从而可得在时恒成立，又，所以的解集为．
又因为，
令，易得在定义域内单调递减，
所以，所以，
故的取值范围为．
22．命题意图 本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．
解析 （Ⅰ）由的参数方程可知，
由题意知，所以，即，
所以的斜率为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（为参数），
代入，得到．
设对应的参数分别为，则，
故．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及性质．
解析 （Ⅰ）将代入，得，
等价于或或
得或无解或．
所以不等式的解集为．
（Ⅱ），
因为的最小值为2，且，所以．
，
当且仅当，即，也即时取等号，
所以的最小值为4． 更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
240
男性
120
40
160
合计
280
120
400
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
2024届高中毕业班第二次考试
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
4．设函数，数列，满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
8．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． c． D．
9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆的离心率为，则______．
14．已知满足约束条件，则的最小值是______．
15．在正四棱柱中，，平面与棱分别交于点，其中分别是的中点，且，则______．
16．已知，若，则的最小值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：
（Ⅰ）是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
18．（12分）
如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（12分）
在数列中，已知．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
20．（12分）
已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；
（Ⅱ）若，当时，，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若与曲线交于两点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设，若的最小值为2，求的最小值．
理科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 D
命题意图 本题考查复数的基本概念和运算．
解析 ，故．
2．答案 C
命题意图 本题考查集合的运算．
解析 因为，所以．
3．答案 B
命题意图 本题考查平面向量的数量积．
解析 ，因为，所以，得．
4．答案 C
命题意图 本题考查数列的概念与性质．
解析 由题意知，可知．
5．答案 C
命题意图 本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．
解析 由题意得，则，所以，故，又，所以．
6．答案 A
命题意图 本题考查概率的计算．
解析 未患病者的诊断结果为阴性的概率为，患病者的诊断结果为阴性的概率为q，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为．
7．答案 A
命题意图 本题考查排列与组合的应用．
解析 先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为．
8．答案 D
命题意图 本题考查函数的单调性．
解析 由，得，所以的定义域为．设，易得在上单调递减．当，即时，，此时单调递减，当，即时，，此时单调递增，所以的单调递增区间为．
9．答案 B
命题意图 本题考查圆柱与圆锥的结构特征．
解析 设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得，因为圆锥的侧面积为，所以．故该几何体的体积为．
10．答案 D
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 令，得，又，所以只能是，得，在区间内，有共3个零点．
11．答案 A
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 设，显然，则，所以的离心率．由于，所以，所以的取值范围是．
12．答案 B
命题意图 本题考查函数的零点、导数的几何意义．
解析 有两个不同的零点，等价于曲线与有两个不同的交点，当时，，二者不可能有交点，只需考虑时的情况．设，若，则，易知曲线与直线在点处相切；若，当时，，所以，所以曲线与直线没有交点；若，则，所以，曲线与直线有两个交点．综上可得，满足条件的的取值范围是．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查椭圆的性质．
解析 因为，所以，解得．
14．答案
命题意图 本题考查简单的线性规划问题．
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线过点时取得最小值，且．
15．答案 3
命题意图 本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．
解析 因为平面经过棱的中点，所以四边形为菱形，且易证．又因为，所以平面，所以，且经过的中点．在矩形中利用三角形相似可计算得．
16．答案
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．
解析 由题意知，由题意知，因此．所以，当且仅当，即时等号成立．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．
解析 （Ⅰ）因为，
因为，所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．
（Ⅱ）选出的男性人数为，选出的女性人数为，
由题意可得的所有可能取值为0，1，2，
，
故的分布列为
所以的数学期望．
18．命题意图 本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．
解析 （Ⅰ）因为，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
在矩形中，为的中点，
所以，根据勾股定理可得．
因为，所以平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，由得
令，则．
同理可得平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，
故，即二面角的余弦值为．
19．命题意图 本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．
解析 （Ⅰ）因为，
所以．
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
设前项和为，
则，
，
两式相减可得
，
所以．
20．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题可得，解得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的方程为．
由题意可知直线不与轴平行，设直线的方程为，则．
联立方程得整理可得，
则，且①，②．
，同理可得．
由题意得，即，
将①②代入可得，即．
故直线的方程可化为，即，
直线过定点．
因为于点，所以点在以为直径的圆上，
故存在的中点，即，使得，为定值．
21．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
解析 （Ⅰ），
可得在上单调递减，在上单调递增．
令，作出与的大致图象如图所示，
因为存在唯一的负整数，使得，则，
故即，
故的取值范围为．
（Ⅱ）根据题意，对恒成立，
等价于对恒成立．
令，则有，
令，
则，所以在上单调递增，
又时，时，，
从而存在唯一的，使得，
即，
可得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
故原不等式恒成立只需，
即．
构造函数，
可得，
当时，令，因为，从而可得在时恒成立，又，所以的解集为．
又因为，
令，易得在定义域内单调递减，
所以，所以，
故的取值范围为．
22．命题意图 本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．
解析 （Ⅰ）由的参数方程可知，
由题意知，所以，即，
所以的斜率为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（为参数），
代入，得到．
设对应的参数分别为，则，
故．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及性质．
解析 （Ⅰ）将代入，得，
等价于或或
得或无解或．
所以不等式的解集为．
（Ⅱ），
因为的最小值为2，且，所以．
，
当且仅当，即，也即时取等号，
所以的最小值为4． 更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
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男性
120
40
160
合计
280
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0.010
2.706
3.841
6.635
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