云南省曲靖市第一中学2024届高三上学期第五次月考数学含答案

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一、单选题：
1．B
解答：因为且，集合A中必含元素0，1，
所以，，
根据集合中元素的互异性可知：．所以选择B．
2．C
解：，所以，，，
所以的虚部为13，故选择C选项．
3．D
解答：因为，即，
由正切的倍角公式可知：．所以选择D．
4．C
解答：设双曲线的右焦点为，
根据双曲线的定义可知：，
易知当且仅当，P，A，三点共线时，达到最小值，
即．故选择C．
5．A
解答：记小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求．故选择A．
6．B
解答：易知，圆C的半径，所以切线长．
所以筝形的面积为．
所以根据等面积法知：，
所以．故选择B．
7．A
解答：因为，所以．
又因为a，b，c成等差数列，则．
根据正弦定理可得：，即，
展开得：，
进一步得：，
因为，可得，
又易知A为锐角，所以，则．故选择A．
8．C
解答：是偶函数，则，即关于对称，
对两边同时求导可得：，
即，所以关于对称，
又因为是偶函数可得，即关于对称．
从而得的周期为4．所以的周期也为4．
又因为若满足上式，则也满足上式．故的值不确定，所以A错；
的周期为4，所以B错；
的周期也为4，所以，所以C对；
关于对称，所以，所以D错．故选择C．
二、多选题：
9．ABD
解答：可得，
当且仅当，即，时成立，所以A选项正确；
，故，
当且仅当时成立，所以B选项正确；
，所以，
仅当，即，时成立，所以C选项错误；
，
当且仅当，即，时成立，所以D选项正确．故选ABD．
10．BC
解答：显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为：，联立直线与抛物线得，则，
所以，所以A选项错误；
又因为可得，
即，所以，所以B选项正确；
即证，即，所以C选项正确；
由上述知：，已知直线方程为：，则，
所以，
当且仅当时成立，所以，所以D选项错误．故选择BC．
11．AD
解答：设，，则．
因为，可得，，
所以，即，即．
又因为，且为下降零点，
即，即，
故取．故．所以A选项正确；
当，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；
将带入方程得，显然不是对称轴，所以C选项错误；
令得或，
取点得其中一条切线为，所以D选项正确．故选择AD．
12．ACD
解答：对于A，根据正四棱台体积计算公式：，所以A正确；
对于B，过G点作BC边的垂线交BC于H点，
因为，面，，
所以面，所以就为面与面所成角的二面角，
则，，则．所以B错误；
对于C，因为面，面，
所以，，，均为直角三角形．
所以，即．所以C正确；
对于D，过H点作的垂线，交于I，再过I作的垂线交BG于J．
易知此时面与面所成角的二面角就为．
设，则，．
由余弦定理可知：
，所以D正确．
综上所述：ACD选项正确．
三．填空题：
13．8 解答：．
14．
解答：因为等差数列，所以，即．
由于，，，，
所以，，，，
所以．
15．3（3和4中任一填一个即为满分）
解答：因为，则，
因为需要包含两条相邻的对称轴，则，
即，所以或4．
16．
解答：对函数求导得：，
令，即有有两个不同的变号零点．
令，．
当时，设过原点的直线与的切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为：，
将原点坐标带入切线方程得．
此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，
即，所以．
同理知当时，，所以．
综上知：a的取值范围为．
17．【解答】（1）因为，，所以．
又因为，所以根据正弦定理得：，所以．（4分）
（2）因为，
展开可得：，即，所以．
因为，
所以．（10分）
18．【解答】（1）证：连接BD交AC于G，再连接EG．
因为，所以与相似，所以，
所以G为BD边上靠近D的三等分点．
又因为，所以E为BP边上靠近P的三等分点．
即EG是的一条三等分线，即．
∵面，面，∴面．（5分）
（2）由题可得：平面，，即可得到三条两两相互垂直的直线AP，AB，AD．
故如图所示建立空间直角坐标系．
则，，，，
设，则，．（7分）
设面的法向量为，则，
令，则，，
所以面的法向量为．（9分）
又因为，所以设直线PF与平面所成角为，
则：，（11分）
所以为所求．（12分）
19．【解答】（1）由题可得：，1，2，3，
可得：每次捉到红鲤鱼的概率为．
易知，；；
；．（4分）
分布列如表所示：
所以．（6分）
（2）每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为，则捉到黑鲤鱼的概率为．
所以，其中且，（8分）
令，则，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以．（10分）
又因为且，所以验证，，
所以，所以．（12分）
20．【解答】（1）由题可得：数列是等差数列，
所以可得，
所以．即数列的通项公式为：．（4分）
（2）因为数列是等差数列，且满足，
所以．（6分）
又因为，则化简得：，可构造．（8分）
又因为，所以，即是以3为首项，公比为3的等比数列．（10分）
所以，即．所以．（12分）
21．【解答】（1）因为与抛物线相交，
所以将直线与抛物线方程联立得，，．
因为，所以，
所以，抛物线的方程为．（4分）
（2）由题易知直线，，斜率一定存在．
设，，．
则直线的方程为：，
即，即．（6分）
因为直线与圆相切得：，
平方化简得：，
看成关于，为变量的式子得：，
同理得直线与圆相切，化简式子后得：，
所以可以同构出直线的方程为：，（10分）
则所以圆心到直线的距离为：（定值），
此时圆C与直线恒切（12分）
22．【解答】（1）对以及分别求导得：
，．其中要保证，存在最大值，
则，需要先正后负，因此．
对于，令得，
所以在上，为增函数；在，上，为减函数．
所以．（2分）
对于，令得，
所以在上，为增函数；在上，为减函数．
所以．（4分）
现要保证与有相同的最大值．
即保证，即，所以，
因为，所以．（5分）
（2）提供一种相对简单易行的解法（同构）：
先证明存在使得其与两条曲线和共有三个不同的交点．
首先根据第一问的单调性可以将图像，绘画出来，
此处需要以下极限值的判定：，；
，，如图所示：
显然当时，使得其与两条曲线和会各交两个点．
再次，下证存在可与曲线和共交三个点．即中间两个点可以重合．
结合图象可令，即，即，
即证：在上存在零点即可，
易知，；
，故在存在，
则可与曲线和共交三个点．（8分）
最后，设从左到右的交点分别为，，，
因为由（1）知，．
则易知．
所以得到以下两个等式：，容易得到，
同时可以得到，显然，结合的图象知道；
同理知道，显然，结合的图象知道．
因此，
所以，原命题得证．（12分）X
0
1
2
3