重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期阶段检测数学试题（九）（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期阶段检测数学试题（九）（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了 设等差数列前n项和为，若，则，433B等内容，欢迎下载使用。

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，
则.
故选：C
【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.
2. 根据2021年新能源乘用车白皮书显示，新能源乘用车销量呈井喷式增长，各月销量不断创历史新高，下图是2017-2021年新能源乘用车BEV（纯电动车）与PHEV（混合动力电车）销量占比变化.下列结论不正确的是（ ）
A. 2019年开始BEV销量占比稳步上升
B. 2020年PHBV的销量比2018年的少
C. 2021年BEV销量占比创近5年新高
D. 2017至2021年BEV是新能源汽车销售的主力军
【答案】B
【解析】
【分析】根据图中销售占比的数据比较大小，逐项判别，可得答案.
【详解】对于A，由年的销量占比数据分别为，则正确；
对于B，图中只有两种汽车的销售占比，没有具体的销售数据，则不正确；
对于C，由年的销量占比数据分别为，则正确；
对于D，由图可知的销售占比数据每年都比的高，则正确.
故选：B.
3. 抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则能够构成锐角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出能够构成锐角三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，基本事件总数是6，
结合大边对大角可知，最大边对应的最大角为锐角，则能够构成锐角三角形，
当时，因为不符合要求；
当时，因为不符合要求；
当时，因为不符合要求；
当时，因为符合要求；
当时，因为符合要求；
当时，因为符合要求；
所以能构成锐角三角形的共有3种情况，
故能够构成锐角三角形的概率.
故选：C.
4. 设等差数列前n项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，
设，则，于是，解得，所以．
故选：A
5. 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一､高二､高三年级学生各有700人､600人､700人.其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ）
A. 0.433B. 0.435C. 0.442D. 0.451
【答案】C
【解析】
【分析】先求出总体的平均数，再根据分层抽样方差的求法，计算即可得出答案.
【详解】记高一、高二、高三年级平均拥有手机分别为，
则，，
记高一、高二、高三年级平均拥有手机的方程分别为，
则，，.
则总的平均值，
所以，方差
.
故选：C.
6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线即，恒过定点，
曲线即表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.

故选：B.
7. 定义表示不超过的最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（ ）
A. 64B. 70C. 77D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】根据取整函数分段求出通项公式进而求和即可.
【详解】因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以．
故选：C．
8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 在数列中，为的前项和，则的值可以为（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 5
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用列举法判断为以6为周期的数列，又，进而可得的值只能为，计算即可.
【详解】，
，
为以6为周期的数列，且，
而，被6除的余数只能为，
所以的值只能为，，
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10. 甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件与事件C相互独立
D. 事件A与事件D相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.
【详解】对于A: A,B相互独立, ,A正确；
对于B：基本事件共有18种，
事件C包括2种情况, ,B正确；
对于C:由，得相互不独立，C错误；
对于D:由，得相互独立，D正确；
故选：ABD.
11. 等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则当时，最小
C. ，D. 若，d为整数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，求得，对d进行分类讨论，结合数列的单调性，逐个判断即可判断出答案.
【详解】因为，
所以，即，
即
若，等差数列为递减数列，
则得，，则，故A正确;
若，等差数列为递增数列，
则，，则，最小，故B正确;
由，得，所以，
所以，，故C错误；
若，结合，知，则必有，则，
由，，
解得，又d为整数，所以，故D正确，
故选：ABD
12. 已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 线段AB的中点在一条定直线上
C. 为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB斜率）
D. 为定值（F为抛物线的焦点）
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，不是定值；B选项，计算出线段AB的中点坐标为，得到结论；C选项，在A选项基础上，计算出；D选项，结合焦半径公式推出不是定值.
【详解】A选项，设直线方程为，联立，得
，
故不是定值，A错误；
B选项，由A可知，，故，
则，
故线段AB的中点坐标为，一定在直线上，B正确；
C选项，
，
，
故为定值，C正确；
D选项，由抛物线焦半径公式可得，，
因为，所以，不是定值，D错误.
故选：BC
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.）
13. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解.
【详解】因为数据的平均数是7，
所以，解得，
因为，
所以这组数据的第百分位数为第位数，即.
故答案为：.
14. 第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可.
【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：
甲猜对一个，乙猜对两个，其概率：；
或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：，
故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为.
故答案为：
15. 设为数列的前项和，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式求出结果．
【详解】设为数列的前项和，①
当时，解得，
当时，②
①-②得，即（常数），
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
则（首项符合通项）．
故，
所以.
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
16. 焦距为12的双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的实轴长为_______________
【答案】8
【解析】
【分析】设，则，内切圆半径为，根据三角形面积的两种表达得到方程，求出，结合双曲线定义得到，因为，表达出，，由正弦定理得到，得到方程，求出，得到焦距.
【详解】由题意得，设，
因为，所以，
因为为的内心，所以内切圆半径为，
则，
又，
故，解得，
根据双曲线定义可知，，
解得，
因为，所以，
因为，所以，
因为平分，所以，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，即，解得，
故焦距为.

故答案为：8
四､解答题（本大题共6小题，共70分.请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程.）
17. 某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？
（2）该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.
【答案】（1）18.32（万元）
（2）20.8万元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；
（2）根据频率分布直方图即可求解.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可得：
（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，
解得a＝0.07，
∴该公司销售员月销售额的平均数为：
＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；
【小问2详解】
设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，
则根据频率分布直方图可得：
（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，
解得x＝20.8，
∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.
18. 已知为数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意的正整数n，令，求数列的2n项的和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；
（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.
【小问1详解】
（1）由题可知，①，
所以，，②
①—②得，（*），又因为，符合（*）式.
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
.
19. 如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）存在，，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案.
【小问1详解】
将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，
故且，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
因为，，，
所以两两垂直，
故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，设，
则，
设，则，设，
则，解得，故，
当时，此时与重合，直线和平面垂直，
不满足所成角的正弦值为，舍去；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设直线和平面所成角的正弦值为，
则，
解得或（舍去），
综上，在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，
此时.
20. 已知数列的首项，前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）
（2）14．
【解析】
【分析】（1）由得出等差数列，再应用等差数列通项求解；
（2）先应用裂项相消得出前n项和，再把不等式恒成立问题转化为最值求解.
【小问1详解】
由．
当时，
两式相减得：，
整理得：
所以，，（）
所以，是以1为首项，公差为3的等差数列．
所以
【小问2详解】
由（1）得，
所以
，
则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．
设，
则
所以，故的最小值是．
由，所以，则整数可取的最大值为14．
21. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．
【答案】（1）抛物线方程为，点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出点的坐标；
（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由可求得的范围，列出韦达定理，由已知条件可求得，由韦达定理可得出，利用双勾函数的单调性可出的取值范围，综合可得解.
【小问1详解】
解：由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，
将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.
【小问2详解】
解：直线的方程为，设点、，
联立整理得，，可得或，
由韦达定理可得，，
又，即，所以，，
因为，，则，
又，
令，所以，，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
同理可知，当时，，
又因为或，所以，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
22. 已知点在双曲线上.
（1）已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值：
（2）已知点，过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足
（i）求斜率的取值范围：
（ii）证明：点恒在一条定直线上.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得双曲线的方程为，设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，得到，结合双曲线的方程，即可得证；
（2）（i）根据题意，设直线的方程为，联立方程组，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求的斜率的取值范围；
（ii）设，由，得到，结合韦达定理，求得，进而求得，得到，即可得证.
【小问1详解】
证明：将点代入双曲线，可得，解得，
所以双曲线的方程为，
设点的坐标为且，则，即，
又由双曲线的两条渐近线分别为，
所以点到两渐近线的距离分别为，
则，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值.
【小问2详解】
解：（i）若直线的斜率不存在，此时直线与双曲线右支无公共点，不满足题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则满足，
因为恒成立，所以，，
即，解得，
所以斜率的取值范围为.
（ii）设，则，
设点的坐标为，由，可得，
整理得，
代入得，解得，
将代入，解得，
则，所以点恒在一条定直线上.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.