吉林省白城市通榆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省白城市通榆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分120分，时间120分钟）
一、单项选择题：（每小题2分，共12分）
1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件必然发生的是（ ）
A．某人买一张彩票就中了大奖B．李明同学下次数学考试满分
C．三点确定一个圆D．两点确定一条直线
3．用配方法将方程变形为，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
6．如图，抛物线的对称轴为，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
7．点关于原点对称的点的坐标是 ．
8．不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
9．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为 ．
10．如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是 ．
11．如图，在中，直径，是弦，于E，，则 ．

12．某小区2021年绿化面积为2000平方米，计划2023年底绿化面积要达到2880平方米，如果每年的增长率相同为x，则根据题意可列方程为 ．
13．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是 ．
14．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝ m．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
16．京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
17．关于x方程有实数根，求m的取值范围．
18．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的周长．
四、解答题（每小题7分，满分28分）
19．如图，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)将绕坐标原点逆时针旋转．画出对应的图形，直接写出点A的对应点的坐标；
(2)在格点图内，若四边形为平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．
20．如图，的直径，D为⊙O上一点，，过点D的切线交的延长线于点C．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分的面积．
21．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DC=BD
(2)求证：DE为⊙O的切线
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．某种小商品的成本价为10元/kg，市场调查发现，该产品每天的销售量w（kg）与销售价x（元/kg）有如下关系w=﹣2x+100，设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．有这样一个问题：
如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令，，
设的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理得，
整理，得
所以
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当时，求的面积；
（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 .
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．

(1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②；
(2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由．
26．已知:如图，二次函数y=x2+ ( 2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．D
【分析】本题考查了事件的分类，确定圆的条件；根据各选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 某人买一张彩票就中了大奖，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. 李明同学下次数学考试满分，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三点确定一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
D. 两点确定一条直线，是必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】将方程用配方法变形，即可得出m的值.
【详解】解：，
配方得：，
即，
则m=5.
故选B.
【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是利用完全平方公式对方程进行变形.
4．A
【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=30°，再根据旋转的性质得∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A=45°，然后利用∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°﹣∠B=30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，
∴∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′=45°﹣30°=15°．
故选A．
5．A
【详解】解：先根据等边三角形的性质知∠O=60°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求得∠C=30°
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理．
6．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．
【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，
∴点Q的坐标为，
故选：D．
7．
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：从袋子中随机取出1个球，共有5种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为．
故答案为：．
9．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线向上平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为，
再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10．70°##70度
【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别切于点A，B，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
11．8
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，由垂径定理可得，由勾股定理得，，进而可求．
【详解】解：如图，连接，

∵直径，是弦，，
∴，，
∵，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：8．
12．
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设人均年收入的平均增长率为，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设平均增长率为，根据题意可列出方程为：．
故答案为：．
13．5
【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合一元二次方程相关知识进行解题即可.
【详解】解：∵x2﹣17x+60＝0，
∴（x﹣5）（x﹣12）＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三边关系是解题关键.
14．5
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25
∵点A（0，1.25）在抛物线上
∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25
解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.5，0）
∴OB＝OC＝2.5
∴CB＝5
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．
15．，
【分析】方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：分解因式得：，即
可得：或
解得：，
【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．
16．
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P(两张都是“红脸”)，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．
【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有实数根，则是解题的关键．根据，计算求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根,
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
18．
【分析】本题考查扇形弧长公式．根据题意先求出的长，再利用扇形弧长公式分别求出和，将求得结果相加即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵夹角为，
∴，
，
∴贴纸部分的周长为： （cm），
答：贴纸部分的周长为．
19．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查利用旋转变换作图，平行四边形的性质．
（1）根据网格结构及旋转性质找出三个点关于坐标原点逆时针旋转的点，顺次连接即可得到本题答案；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
【详解】（1）解：如图所示，
，
∴；
（2）解：如图平行四边形即为所求：
，
根据平行四边形性质可得，
故答案为：．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）由切线的性质可得出答案；
（2）由勾股定理求出，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵切于D，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴，
在中，，



21．可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形
【详解】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）．
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；
（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定．
23．(1) y=-2+120x-1000;(2) 30元， 800元
【详解】试题分析：
（1）由每天销售利润=每千克的盈利×每天的销售量，结合题意即可列出y与x间的函数关系式：y=(x-10)·w，再代入w=-2x+100化简即可得到所求函数关系式；
（2）将（1）中所求函数关系式配方，即可得到所求答案.
试题解析：
（1）由题意可得：y=w(x-10)=(-2x+100)(x-10)，
化简可得：y=-2+120x-1000；
（2）∵y=-2+120x-1000=-2(x-30)²+800，
∴当x=30即销售价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元.
24．（1）35；（2）
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】（Ⅰ）如图，令
设的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，，
据勾股定理得，
整理，得
所以
（Ⅱ）由（1）可知：
【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25．(1)①见解析；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为：，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①由，可得，证明，进而得证；②由，可得；
（2）由题意，同理（1）可证，则；由，可得．
【详解】（1）①证明：∵为等边三角形，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴；
（2）解：不成立，存在的数量关系为：，理由如下：
同理（1）可证，
∴；
又∵，
∴．
26．（1）；（2）B点坐标是(4,4)．
【分析】（1）直接把原点坐标代入y=x2+（2k-1）x+k+1求出k的值，即可得到二次函数解析式；
（2）先确定A（3，0）和抛物线的对称轴，设B(m，n)，再根据三角形面积公式得到，求出n值代入二次函数的解析式，即可求出点B坐标．
【详解】（1）∵抛物线过原点O ，
∴k+1=0 ，
∴k=-1，
∴抛物线的解析式是．
（2）令y=0，得x2-3x=0，
解得:x1=0，x2=3 ，
∴A(3，0) ，
∴OA=3 ，
设点B的坐标是(m，n)，
∵，
∴，
∴，
∴，
当n=-4时，x2-3x= -4，此方程无解;
当n=4时，x2-3x=4，解得:x1=4，x2=-1，
∵对称轴x=，点B在对称轴右侧
∴x=4 ，
将x=4代入y=x2-3x.，得y=42-34=4，
∴B点坐标是(4,4)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．