2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据实数集、有理数集、正整数集、自然数集的字母表示的符号逐一判断即可.
【详解】，所以①正确；，所以②正确；，所以③错误；，所以④错误；，所以⑤正确.
故选：C
2．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线的点斜式方程和一般式方程的定义求解.
【详解】因为直线斜率为，
所以该直线方程为，
即，
故选：A．
3．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】圆即，所以圆心坐标为.
故选：B.
4．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
5．已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，
由题意可知：焦准距，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
6．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
7．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得，由离心率定义可得.
【详解】如下图所示：
根据题意可设，易知；
由余弦定理可知，可得；
即，
由双曲线定义可知可知，即；
所以离心率.
故选：A
8．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线的斜率取值范围.
【详解】

直线过点，且与线段相交，
则直线的斜率取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．任何直线方程都能表示为一般式
B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
C．直线与直线的交点坐标是
D．直线方程可化为截距式为
【答案】AC
【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.
【详解】对A：直线的一般是方程为：，
当时，方程表示水平线，垂直轴；
当时，方程表示铅锤线，垂直轴；
当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.
对B：两条直线的斜率相等时，两直线可能重合，故B错.
对C：联立，解得，故C正确.
对D：若或时，式子显然无意义，故D错.
故选：AC.
10．将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则（ ）
A．为函数的一条对称轴
B．为函数的一条对称轴
C．为函数的一个对称中心
D．为函数的一个对称中心
【答案】BD
【分析】先求出，再代入相应的值，对四个选项进行判断.
【详解】的图像向右平移个单位，
得到，
故，
A选项，，故不是的一条对称轴，A错误；
B选项，，故为函数的一条对称轴，B正确；
C选项，，故为函数的一条对称轴，C错误；
D选项，，故为函数的一个对称中心，D正确.
故选：BD
11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.
【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．
又，，得，所以或．
故选:BC．
12．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆
D．若，则是椭圆，其焦点在轴上
【答案】AD
【分析】把已知方程变形，结合四个选项中的条件依次判断得答案．
【详解】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确；
对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误；
对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误；
对于D：若，则可化为，
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13． ．
【答案】
【分析】根据诱导公式化简可得出所求值.
【详解】由诱导公式可得.
故答案为：.
14．过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为．
故答案为：
15．若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 .
【答案】或
【分析】对椭圆的焦点进行分类讨论，求出的值即可.
【详解】由于直线与坐标轴的交点为与．
①当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在x轴上，且，，
所以
所以椭圆的标准方程为．
②当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在y轴上，且，，
所以
所以椭圆的标准方程为．
综上所述，椭圆的标准方程为或．
故答案为：或．
四、双空题
16．直线过定点 ，若直线与直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】化简直线的方程为，列出方程组，得到直线过定点，再由两直线的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】由直线，可化为，
又由方程组，解得，
所以直线过定点，
因为直线与直线垂直，可得，
解得.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知分别为三个内角的对边，.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同一个角的正余弦平方和为1求解即可；
（2）由正弦定理，代入原式求出b.
【详解】（1）在中，因为，所以.
（2）由正弦定理，，又，
所以.
18．已知圆过三点，，．
(1)求圆的方程；
(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.
【详解】（1）设圆G的方程为，
因为圆过三点，，，
所以 ，解得,
圆G的方程为.
（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，
（i）若直线的斜率不存在，
则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;
（ii）若直线的斜率存在，
则设直线方程为 即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得,所以切线方程为.
综上，切线方程为或.
19．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.
（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
20．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在被调查的用户中，求用电量落在区间内的户数；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1，计算即可；
（2）根据频率分布直方图直接计算，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得：，
解得.
（2）解：由频率分布直方图中的数据，可得用电量落在区间内的频率为：，
所以用电量落在区间内的户数为.
21．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件求出的值即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出.
【详解】（1）由题意得：，，，
故可知，
椭圆方程为：.
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：，
则，即，
由韦达定理可知：，，
，则，
，
又，
，
，
展开后整理得：，解得：或，
当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去，
当时，AB的方程为：，恒过定点.
所以直线过定点．
22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，点E是PD的中点，，.求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC的法向量与平面PAB的法向量，利用空间向量中平面夹角的计算公式求解即可.
【详解】因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
由于四边形ABCD是矩形，所以，
由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面EAC的一个法向量为，则，即，
取，则，所以是平面EAC的一个法向量，
又，又因为平面，
所以平面.所以是平面的一个法向量.
设平面EAC与平面的夹角为，则，
所以平面EAC与平面夹角的余弦值为.