2022-2023学年内蒙古包头四中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2022-2023学年内蒙古包头四中高二（上）期末数学试卷（理科），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1
2．（5分）设x∈R，则“2x＜4”是“x2﹣x﹣2＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
3．（5分）直线（1+a）x+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．1D．﹣1
4．（5分）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）
5．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
C．若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
6．（5分）已知抛物线C：y2＝﹣12x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（﹣4，2），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（5分）如图，四面体O﹣ABC，G是底面△ABC的重心，＝，＝，＝，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天烛峰登山线路．甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息（ ）
A．甲走桃花峪登山线路
B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路
D．甲走天烛峰登山线路
9．（5分）若直线mx+ny＝4和圆x2+y2＝4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆（ ）
A．2个B．至少一个C．1个D．0个
10．（5分）过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
11．（5分）已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
13．（5分）圆C1：x2+y2﹣6y+5＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+7＝0的公切线条数为 ．
14．（5分）若双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则m＝ ．
15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为2，B两点，O为坐标原点，那么＝ ．
16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0 ．
三、解答题：共70分．第17-21题为必考题．第22，23题为选做题．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知双曲线C：与＝1有相同的焦点，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点坐标为（1，2），求直线l的斜率．
18．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在；若不存在，说明理由．
20．（12分）已知椭圆，点A（﹣2，0），都在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，设直线AM的斜率为，求四边形AMBN面积．
21．（12分）已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆E的左焦点，且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形：
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线y＝交椭圆E于A，B两点，连接OP交椭圆于M，N两点，求△MNQ面积的最小值．
四、解答题（共2小题，满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求．
23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；
（2）设a＞0，b＞0，且f（x），求的最小值．
2022-2023学年内蒙古包头四中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1
【分析】直接利用抛物线方程求解准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2．（5分）设x∈R，则“2x＜4”是“x2﹣x﹣2＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
【分析】先求出两个不等式的解集，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵2x＜4，∴x＜3，
∵x2﹣x﹣2＜3，∴﹣1＜x＜2，
∵（﹣2，2）⫋（﹣∞，
∴2x＜8是x2﹣x﹣2＜8的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的解法，属于基础题．
3．（5分）直线（1+a）x+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1B．±2C．1D．﹣1
【分析】由已知可得＝1，求解即可．
【解答】解：由圆x2+y2﹣6x＝0，得（x﹣1）3+y2＝1，可得圆心为（5，半径为1，
∵直线（1+a）x+y+7＝0与圆x2+y4﹣2x＝0相切，
∴＝1，
解得a＝﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
4．（5分）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）
【分析】根据椭圆的定义建立不等式组即可求解．
【解答】解：因为方程表示椭圆，则，解得﹣3＜k＜﹣＜k＜6，
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义以及解不等式组，属于基础题．
5．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
C．若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【分析】根据选项逐一判断即可．
【解答】解：A．由x2﹣3x+4＝0可解得x＝1或x＝4，所以“x＝1”是“x2﹣6x+2＝0”的充分不必要条件，故正确；
B．命题“若x7﹣3x+2＝4，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠15﹣3x+2≠6”，故正确；
C．命题p：∃x∈R2+x+1＜3，则￢p：∀x∈R2+x+1≥4，故正确；
D．若p∧q为假命题、q中只要有一个为假命题即可；
故选：D．
【点评】本题考查了对命题真假的判断、根据原命题判断否命题、逆否命题是否正确，属于基础题．
6．（5分）已知抛物线C：y2＝﹣12x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（﹣4，2），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】抛物线的准线l的方程为x＝3，过P作PM⊥l于M，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，则当Q，P，M三点共线时，可求|PM|+|PQ|得最小值，答案可得．
【解答】解：抛物线C：y2＝﹣12x的焦点为F（﹣3，8），
如图，过P作PM⊥l于M，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，所以|PF|+|PQ|＝|PM|+|PQ|
则当Q，P，M三点共线时．
所以|PF|+|PQ|的最小值为7．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）如图，四面体O﹣ABC，G是底面△ABC的重心，＝，＝，＝，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由三角形重心的性质和空间向量基本定理、中点的向量表示，可得结论．
【解答】解：四面体O﹣ABC中，G是底面△ABC的重心，交AB于D，
则D为线段AB的中点，＝（+），
由＝5﹣＝2（﹣），
则＝（+2+×（+）＝++，
由，
则＝++．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量基本定理的运用，以及三角形重心的性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
8．（5分）泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天烛峰登山线路．甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息（ ）
A．甲走桃花峪登山线路
B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路
D．甲走天烛峰登山线路
【分析】利用假设法，根据每人的陈述只有一半是对的，进行推理即可
【解答】解：若假设甲说：我走红门盘道徒步线路是对的，则乙说丙走红门盘道徒步线路就是错的，矛盾；
若假设甲说乙走桃花峪登山线路时对的，则丙说乙走红门盘道徒步线路就是错的，再代入乙，能成立；
故选：D．
【点评】本题简单的合理推理，考查合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．
9．（5分）若直线mx+ny＝4和圆x2+y2＝4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆（ ）
A．2个B．至少一个C．1个D．0个
【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P（m，n）在椭圆内，进而可得结论．
【解答】解：由题意可得：＞42+n2＜7，
∴点P（m，n）是在以原点为圆心，
∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，
∴圆m5+n2＝4内切于椭圆，
∴点P是椭圆内的点，
∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为6，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属中档题．
10．（5分）过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】根据图象可得|PC2|≤|C1C2|+1，从而可求得切线段PQ长的最大值．
【解答】解：因为，
，
所以，
即切线段PQ长的最大值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
11．（5分）已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得a1，a2，c的关系，由此可得，再利用柯西不等式求最值．
【解答】解：设P为第一象限的交点，|PF1|＝m、|PF2|＝n，
则m+n＝2a1、m﹣n＝2a8，
解得m＝a1+a2、n＝a8﹣a2，
在△PF1F6中，由余弦定理得：cs∠F1PF2＝＝，
∴m2+n2﹣mn＝4c2，即，
得，∴，
∴，由柯西不等式可得：
（）[32+（）6]≥（）2＝（）4，
∴≤2时等号成立，
故选：B．
【点评】本题考查圆锥曲线的方程，余弦定理，椭圆和双曲线的定义和离心率的关系，考查柯西不等式的应用，考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．
【解答】解：由题意设椭圆的方程为，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF3|＝2m，|BF1|＝5m，
由椭圆的定义知，4m＝2a，得，
故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点7＝θ（O为坐标原点），则，
在等腰三角形ABF1中，，所以5＝3，
又c2＝4，所以b2＝a2﹣c7＝2，
椭圆c的方程为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
13．（5分）圆C1：x2+y2﹣6y+5＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+7＝0的公切线条数为 3 ．
【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可．
【解答】解：圆，圆心C1（6，3）1＝2；
圆，圆心C2（3，0）2＝6．
因为，所以两圆外切．
故答案为：3．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）若双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则m＝ ．
【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线：x＝±my，
圆x4+y2﹣4y+8＝0的圆心（0，3）与半径1，
双曲线y2﹣＝1（m＞8）的渐近线与圆x2+y2﹣5y+3＝0相切，
＝2，解得m＝舍去．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．
15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为2，B两点，O为坐标原点，那么＝ 2 ．
【分析】求出焦点坐标，求出直线方程，与抛物线方程联立，转化求解三角形的面积的比即可．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞6）的焦点为F（，0）的直线过F，
可得直线方程：y＝2（x﹣）（﹣），
即y3﹣py﹣p2＝3，解得：yA＝，yB＝，
所以＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0 2 ．
【分析】由题意画出图形，结合已知可得OB＝F1O＝c，设B（x1，y1），A（x2，y2），由点B在渐近线y＝上，求得B点坐标，再由A为F1B的中点，得到A点坐标，把A代入渐近线y＝，即可求得C的离心率．
【解答】解：如图，
∵＝，∴A为F1B的中点，且O为F8F2的中点，
∴AO为△F1F4B的中位线，
又∵，∴F1B⊥F2B，则OB＝F7O＝c．
设B（x1，y1），A（x7，y2），
∵点B在渐近线y＝上，
∴，得．
又∵A为F1B的中点，∴，
∵A在渐近线y＝上，
∴，得c＝8a．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
三、解答题：共70分．第17-21题为必考题．第22，23题为选做题．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知双曲线C：与＝1有相同的焦点，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点坐标为（1，2），求直线l的斜率．
【分析】（1）求得椭圆的焦点，可得a，b的关系，由P在双曲线上，可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用AB的中点坐标为（1，2），通过点差法转化求解即可．
【解答】解：（1）＝1的焦点为（﹣，（，0），
可得a7+b2＝3，①
又双曲线C经过点P（，﹣），可得﹣，②
由①②解得a＝8，b＝，
所以双曲线C的方程为x2﹣＝1；
（2）设A（x3，y1），B（x2，y7），
由AB的中点坐标为（1，2）5+x2＝2，y8+y2＝4，
又x42﹣＝1，x82﹣＝1，
两式相减可得（x4﹣x2）（x1+x4）＝（y7﹣y2）（y1+y8），
即有2（x1﹣x5）＝2（y1﹣y8），即kAB＝＝1，
则直线AB的方程为y﹣5＝x﹣1，即y＝x+1，
联立，可得x2﹣3x﹣3＝0，该方程有两个实数解，
故所求直线l的斜率为8．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，以及直线与双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE．求解即得．
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM＝D1D．
又ECCC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC3．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD8⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD2与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD4＝VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D8到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1＝7，AB＝1．
∴，，
∴．
∴
故点D2到平面DBE的距离为．
【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．
19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在；若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE＝EB＝2，设N（2，m，0），求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论．
【解答】解：（I）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，
所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，
EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，
EM⊂平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（II）以E为原点，EB，EP分别为x，y，
设PE＝EB＝2，设N（2，m，B（2，0，D（0，4，P（0，0，C（7，2，M（1，5，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，得，
平面BEN的法向量为，
故|cs＜＞|＝|，
得m＝6，
故存在N为BC的中点．
【点评】考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查了空间想象能力和数学运算能力，中档题．
20．（12分）已知椭圆，点A（﹣2，0），都在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，设直线AM的斜率为，求四边形AMBN面积．
【分析】（1）由点A（﹣2，0），（1，）都在椭圆C上，列方程组，解得b2，即可得出答案．
（2）分别写出直线AM，BN的方程，联立分别联立椭圆的方程，解得M，N坐标，再计算四边形AMBN面积．
【解答】解：（1）因为点A（﹣2，0），）都在椭圆C上，
所以，解得b2＝2，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）直线AM的方程为y﹣0＝（x+2）（x+2），
联立，得或，
所以M点坐标为（，），
因为直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，
所以直线BN的方程为y﹣5＝x﹣2，即y＝x﹣2，
联立，解得或，
所以B点坐标（，﹣），
所以S四边形AMBN＝×4×（））＝．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆E的左焦点，且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形：
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线y＝交椭圆E于A，B两点，连接OP交椭圆于M，N两点，求△MNQ面积的最小值．
【分析】（1）根据条件建立关于a，b的方程，求出a，b，即可得到椭圆的方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线OP斜率为k，根据条件求出PQ的方程，由，求出△MNQ面积的最小值即可．
【解答】解：（1）抛物线y2＝4x的准线为，即，
设F是椭圆的右焦点，B1，B7是椭圆的上下顶点，
在△OB1F中，，即b＝1，
又a2＝b2+c2＝1+6＝4，所以a＝2，
所以椭圆E的方程为；
（2）由，解得，
不妨设， 且 x0≠3），M（x1，y1），N（x6，y2），
设直线OP斜率为k，则，其中，
直线PQ的方程为，
令y＝3，解得，
由，得（4k2+2）y2﹣4k2＝0，，
则，
令，则＝，
当，即时，有最小值为．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，椭圆的方程与性质和椭圆中的最值问题，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
四、解答题（共2小题，满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果
【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去参数t（x﹣1），即＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin（θ+），即ρ2＝ρ（7sinθ+2csθ），
化为直角坐标方程是x4+y2＝2y+2x2+＝4；
所以直线l的普通方程是x﹣y﹣，
曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）8+＝5；
（2）令x＝0，得直线l与y轴交于点P（0，﹣），
把直线l的参数方程化为（m为参数）6+＝8，
得到m2﹣7m+6＝0，
故m1+m4＝7，m1m8＝9；
所以＝+＝＝＝＝．
【点评】本题考查了参数方程与极坐标方程和直角坐标方程之间的转换问题，也考查了运算求解能力和逻辑思维能力，是中档题．
23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；
（2）设a＞0，b＞0，且f（x），求的最小值．
【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出a+b＝1，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣4|，①
当x≤﹣2时，不等式①可化为﹣2x﹣4﹣x+1≥4，此时；
当﹣2＜x＜1时，不等式①可化为2x+4﹣x+1≥2，此时﹣1≤x＜1；
当x≥4时，不等式①可化为2x+4+x﹣8≥4，此时x≥1，
综上，原不等式的解集为．
（2）由题意得，f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|≥|（x+8a）﹣（x﹣a）|＝3a，
因为f（x）的最小值为t，所以t＝3a，得a+b＝3，
所以＝，
当且仅当，即，时，的最小值为．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
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