2022-2023学年新疆乌鲁木齐七十中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐七十中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列三条线段中，不能构成三角形的是( )
A. 3，4，5B. 4，6，8C. 5，5，8D. 1，2，3
3.下列各式2π，a2−b2，2mna，12x+13y，2x−2，t2b，a−b6中，分式有个．( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.下列运算正确的是( )
A. x5⋅x2=x10B. (−2m3n4)2=4m6n6
C. (−a2)3=−a6D. y4÷y4=0
5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.如图，已知∠ABC=∠DCB.添加一个条件后，不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. ∠ABD=∠DCA
B. ∠A=∠D
C. AB=DC
D. AC=DB
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，CD=2，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M、N.分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，则△ABD的面积是( )
A. 20
B. 10
C. 5
D. 2.5
8.下列计算中，正确的个数有( )
(1)3x3⋅(−2x2)=−6x5；
(2)8x3y÷(12x2y)=4x；
(3)(x+7)(1−x)=x2−7；
(4)(12x4y3−4x3y2+8x2y)÷(−2xy)=−6x3y2−2x2y+4x．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为( )
A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
10.如图，△ABC的面积是3，AD是△ABC的中线，FD=2AF，EF=2CE，则△DEF的面积是( )
A. 94
B. 32
C. 89
D. 23
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为______．
12.如果分式x−1x−4有意义，那么x的取值范围是______ ．
13.因式分解：a3b−ab=______．
14.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°.若这条船继续向正北航行，再航行______ 海里，小船与灯塔C的距离最短．
15.如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)(−2)2+(12)−2−( 2−2)0；
(2)[(a−b)2+(3a+b)(3a−b)]÷2a．
17.(本小题8分)
解方程：
(1)xx−3=x+1x−1．
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2−9a2−2a+1÷a−3a−1−1a−1)⋅1a+2，其中a=5．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于点G，∠BCD=52°，∠BEA=112°，求∠ACD的大小．
20.(本小题7分)
如图，AC⊥AB于点A，DF⊥DE于点D，BE=FC，AC=DE.求证：∠B=∠F．
21.(本小题7分)
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(−4,5)，(−1,3)．
(1)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A和C′的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使PA+PC最小，在图中标出点P．
22.(本小题8分)
李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行(匀速)回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车(匀速)返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
(1)李明步行的速度是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
23.(本小题7分)
如图，△ABC中，∠ABC=45°，D是△ABC外一点，DC⊥AC，连接BD．
(1)如图1，当BA=BC，∠DBC=45°时，求∠BDC的度数；
(2)如图1，当∠DBC=45°时，求证：DC=AC；
(3)如图2，当DC=AC时，∠ABD= ______ 度(直接写出结果)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图不是轴对称图形，不符合题意；
B.该图不是轴对称图形，不符合题意；
C.该图是轴对称图形，符合题意；
D.该图不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.3+4>5，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B.4+6>8，能构成三角形，故此选项不符合题意；
C.5+5>8，能构成三角形，故此选项不符合题意；
D.1+2=3，不能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3.【答案】B
【解析】解：分式有：2mna，2x−2，t2b，共3个．
故选：B．
形如AB(A、B均为整式，且B中含有字母)的式子叫分式，根据定义解答．
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.x5⋅x2=x7，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
B.(−2m3n4)2=4m6n8，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
C.(−a2)3=−a6，该选项计算正确，故该选项符合题意；
D.y4÷y4=1，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法即可判断A，根据幂的乘方和积的乘方即可判断B和C，根据同底数幂的除法即可判断D．
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是360°，n边形的内角和是(n−2)·180°．
设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180°=2×360°，
解得n=6，
即这个多边形为六边形．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABC=∠DCB，∠ABD=∠DCA，
∴∠ABC−∠ABD=∠DCB−∠DCA，即∠ACB=∠DBC，
在△ABC和△DCB中，
∠ABC=∠DCBBC=BC∠ACB=∠DBC，
∴△ABC≌△DCB(ASA)，故A不符合题意；
B、在△ABC和△DCB中，
∠ABC=∠DCB∠A=∠DBC=BC，
∴△ABC≌△DCB(AAS)，故B不符合题意；
C、在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=BC，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，故C不符合题意；
D、在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=BC，SSA不能得出△ABC≌△DCB，故D符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL．
7.【答案】C
【解析】解：如图，作DE⊥AB交AB于E，
，
由作图可得：BD为∠ABC的平分线，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD=2，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×5×2=5，
故选：C．
作DE⊥AB交AB于E，由作图可得：BD为∠ABC的平分线，由角平分线的性质可得DE=CD=2，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
本题主要考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：(1)3x3⋅(−2x2)=−6x5，故(1)正确，符合题意；
(2)8x3y÷(12x2y)=16x，故(2)不正确，不符合题意；
(3)(x+7)(1−x)=x2+6x−7，故(3)不正确，不符合题意；
(4)(12x4y3−4x3y2+8x2y)÷(−2xy)=−6x3y2+2x2y−4x，故(4)不正确，不符合题意；
综上：正确的有(1)，共1个，
故选：A．
根据整式的混合运算法则，逐个进行计算，即可得出结论．
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以(除以)单项式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算法则．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=40°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=∠BAC−(∠BAE+∠FAC)=100°，
故选：B．
首先利用三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°−∠BAC=40°，然后利用线段垂直平分线的性质可得EA=EB，FA=FC，从而可得∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，然后利用等量代换可得∠BAE+∠FAC=40°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC的面积是3，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD=12S△ABC=32，
∵FD=2AF，
∴DF=23AD，
∴S△CDF=23S△ACD=23×32=1，
∵EF=2CE，
∴S△DEF=23S△CDF=23×1=23，
故选：D．
根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△DEF．
此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键．
11.【答案】1.56×10−4
【解析】解：0.000156=1.56×10−4．
故答案为：1.56×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】x≠4
【解析】解：∵分式x−1x−4有意义，
∴x−4≠0，解得x≠4．
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可进行解答．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0．
13.【答案】ab(a+1)(a−1)
【解析】解：a3b−ab
=ab(a2−1)
=ab(a+1)(a−1)．
故答案为：ab(a+1)(a−1)．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14.【答案】15
【解析】解：∵一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，
∴AB=15×2=30(海里)，
∵∠NBC=60°，∠NAC=30°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=AB=30(海里)，
如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC=90°．
又∵∠NBC=60°，
∴∠PCB=180°−∠BPC−∠CBP=30°．
在Rt△CBP中，∠BCP=30°，
∴PB=12BC=15(海里)，
∴再航行15海里，小船与灯塔C的距离最短．
故答案为：15．
首先根据题意求出AB=15×2=30，然后根据等边对等角得到BC=AB=30，过点C作CP⊥AB于点P，得到线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．
15.【答案】m2
【解析】解：延长AC，过点Q作QF⊥AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠QCF=60°，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴∠PEA=∠F=90°，
在△APE和△CQF中，
∠PEA=∠F∠A=∠QCFAP=CQ，
∴△APE≌△CQF(AAS)，
∴PE=QF，AE=CF，
在△PME和△QMF中，
∠PME=∠QMF∠PEM=∠FPE=QF，
∴△PME≌△QMF(AAS)，
∴EM=FM，
∵AE=CF，AC=m，
∴AC=CE+AE=CE+CF=EF=m，
∴EM=FM=m2．
故答案为：m2．
延长AC，过点Q作QF⊥AC于点F，先证明△APE≌△CQF(AAS)，得出PE=QF，AE=CF，再证明△PME≌△QMF(AAS)，得出EM=FM，即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是60°，正确画出辅助线，构造全等三角形．
16.【答案】解：(1)(−2)2+(12)−2−( 2−2)0
=4+4−1
=7；
(2)[(a−b)2+(3a+b)(3a−b)]÷2a
=(a2−2ab+b2+9a2−b2)÷2a
=(10a2−2ab)÷2a
=5a−b；
【解析】(1)首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后计算加减；
(2)根据整式的混合运算法则求解即可．
此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
17.【答案】解：(1)方程两边同时乘以得(x−1)(x−3)：
x(x−1)=(x+1)(x−3)，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，(x−1)(x−3)≠0，
∴原分式方程的解为x=−3；
(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+1)得：
(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x−1)(x+1)=0，
∴x=1是分式方程的增根，原分式方程无解．
【解析】(1)方程两边同时乘以(x−1)(x−3)去分母化成整式方程，解整式方程，检验后即可得出原分式方程的解；
(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+1)去分母化成整式方程，解整式方程，检验后即可得出原分式方程的解．
本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解题的关键．
18.【答案】解：原式=[(a+3)(a−3)(a−1)2×a−1a−3−1a−1]⋅1a+2
=(a+3a−1−1a−1)⋅1a+2
=a+2a−1⋅1a+2
=1a−1，
当a=5时，原式=15−1=14．
【解析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面同分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵CD为△ABC的高，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠BCD=52°，
∴∠B=38°，
∵∠B+∠AEB+∠BEA=180°，∠BEA=112°，
∴∠BAE=30°，
∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=60°，
∴∠ACD=30°．
【解析】利用三角形内角和定理求出∠BAE=30°，再根据角平分线的性质得到∠BAC=2∠BAE=60°，即可得到∠ACD的大小．
本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
20.【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EC=FC+EC，
∴BC=EF，
∵AC⊥AB，DF⊥DE，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
AC=DEBC=EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)，
∴∠B=∠F．
【解析】首先根据BE=FC得到BC=EF，然后证明出Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)，然后利用全等三角形的性质证明即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
21.【答案】解：(1)作图如下：

△A′B′C′即为所求，由网格图可知：A(−4,5)，C′(1,3)；
(2)连接AC′，交y轴于点P，如图，P点即为所求．

证明：连接PC，根据轴对称的性质可知：PC′=PC，
即PA+PC=PA+PC′，
由作图可知：点A、P、C′三点共线，此时PA+PC=PA+PC′=PC′，
根据两点之间线段最短，可知此时PA+PC有最小值，
即P点满足要求．
【解析】(1)分别作出A，B，C关于y轴的对应点A′，B′，C′，依次连接三点即可得△A′B′C′，再结合网格图即可写出坐标；
(2)连接AC′，交y轴于点P，即可作答．
本题考查了平面直角坐标系中轴对称变换、两点间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设李明步行的速度为x米/分，则骑自行车的速度为3x米/分．
依题意，得：2100x−21003x=20，
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解，且符合题意．
答：李明步行的速度是70米/分．
(2)210070+210070×3+2=42(分钟)，
∵42<48，
∴李明能在联欢会开始前赶到学校．
【解析】(1)设李明步行的速度为x米/分，则骑自行车的速度为3x米/分，根据时间=路程÷速度结合李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用时间=路程÷速度结合在家拿道具用了2分钟，可求出李明回家拿道具及到校所需时间和，将其与48分钟比较后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】90
【解析】(1)解：∵BA=BC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−45°)=67.5°，
∵DC⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°−67.5°=22.5°，
∵∠DBC=45°
∴∠BDC=180°−45°−22.5°=112.5°；
(2)证明：如图1，过点C作CE⊥AB于E，CF⊥BD交BD的延长线于F，
则∠BEC=∠BFC=90°，
∵∠ABC=∠DBC=45°，
∴∠ECF=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCF，
∵∠ABC=∠DBC，CE⊥AB，CF⊥BD，
∴CE=CF，
在△AEC和△DFC中，
∠ACE=∠DCFCE=CF∠AEC=∠DFC，
∴△AEC≌△DFC(ASA)，
∴DC=AC；
(3)解：如图2，连接AD，
∵DC⊥AC，DC=AC，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵∠ABC=45°，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ABD=90°，
故答案为：90．
(1)根据等腰三角形的性质求出∠BCA，进而求出∠BCD，再根据三角形内角和定理计算，得到答案；
(2)过点C作CE⊥AB于E，CF⊥BD交BD的延长线于F，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△AEC≌△DFC，根据全等三角形的性质证明即可；
(3)连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=45°，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．