2023-2024学年吉林省长春市农安县高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市农安县高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】由点到直线的距离公式
故选
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离公式，属于基础题
2．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
3．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选：C.
4．若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义得，根据中位线定理即可求出的值．
【详解】因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，则，
而是的中位线，所以．
故选：B．
5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有

故选：C
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，设下焦点为，渐近线方程为，然后根据双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为求得即可.
【详解】因为，
所以下焦点为，渐近线方程为，即 ，
则下焦点到的距离为，
又因为，
解得，即，
所以渐近线方程为：
故选：B
7．在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据，求得，再利用向量法求解即可.
【详解】解：设，
则，
，
因为，
所以，解得，
故，，
则，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选：A.
8．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.
【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则
故选：D
二、多选题
9．以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】CD
【解析】根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D.
【详解】A:，，，
则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；
B:若，则，
∴存在实数，使得,无解，故B错误；
C:，∴，
与共线，，故C正确；
D:点，，，
，.
向量是平面的法向量，，
即，解得，故D正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
必须熟练掌握的知识和技能：
（1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直；
（2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；
（3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线.
10．已知方程表示的曲线为,则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时,曲线表示椭圆
B．当或时,曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则
【答案】BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程,逐项判断正误.
【详解】若曲线:表示椭圆,则,解得且,故A不正确;
若曲线:表示双曲线,则,解得或,故B正确;
若曲线:表示焦点在轴上的椭圆,则,解得,故C正确;
若曲线:表示焦点在轴上的双曲线,则,解得,故D正确.
故选:BCD.
11．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的渐近线上的点到距离的最小值为4B．的离心率为
C．上的点到距离的最小值为2D．过的最短的弦长为
【答案】AC
【解析】根据题意，求出，结合的关系式求出，利用双曲线的几何性质进行逐项分析，判断即可.
【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得，所以右焦点为为，双曲线的渐近线方程为，
对于选项A：由点向双曲线的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为的渐近线上的点到距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，，
故选项A正确；
对于选项B：因为，所以双曲线的离心率为，故选项B错误；
对于选项C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故选项C正确；
对于选项D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故选项D错误.
故选：AC
【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.
12．设圆：的圆心为，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．
B．四点共圆
C．
D．直线的方程为：
【答案】ABD
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出，以及点的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；
【详解】如图所示，因为，即，
可知圆心，半径，
对于选项A：因为，
所以，故A正确；
对于选项C、D：在Rt中，因为，，则，即，
则，，
可知点在直线上的投影长为，则点的横坐标为2，
所以直线的方程为，故C错误、D正确；
对于选项B：直线与圆相交于点，
显然，故四点共圆，故B正确．
故选：ABD．

三、填空题
13．两圆与的公切线有 条．
【答案】3
【分析】判断两圆的位置关系，即可求出公切线的条数.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，
圆的圆心坐标为，半径为4，
则两圆的圆心距为，
两圆外切，两圆公切线的条数为3条.
故答案为：3
14．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线的定义及性质计算点纵坐标即可.
【详解】由题意不妨令，设，
由，得，即在以为直径的圆上，可知：，
联立，所以.
故答案为：
15．椭圆的左、右顶点分别为、、为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于 ．
【答案】
【解析】根据椭圆的性质，斜率之积为定值，代值计算即可.
【详解】根据椭圆的性质，.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的性质，需要牢记圆锥曲线中的结论.
16．在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.
【详解】∵在长方体 中,,，
点为的中点，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图：
∴, ,,，
即，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，所以
∴点 到平面的距离：

故答案为：
四、解答题
17．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．
【答案】证明见详解
【分析】选择合适的基底，利用空间向量数量积计算即可.
【详解】设，
由题意得，，，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
18．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.
（1）斜率是，经过点A(8，2);
（2）经过点B(4，2)，且平行于x轴;
（3）在x轴和y轴上的截距分别是，3;
（4）经过两点P1(3，2)，P2(5，4).
【答案】（1）x+2y4=0；（2）y2=0；（3）2y3=0；（4）x+y1=0.
【分析】各小问根据直线方程直接可以得出结论.
【详解】（1）由点斜式方程，得y (2)= (x8)，即x+2y4=0.
（2）由点斜式方程，得y2=0.
（3）由截距式方程，得=1，即2y3=0.
（4）由两点式方程，得，即x+y1=0.
【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题型.
19．已知圆C过平面内三点、、，
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦长为8，求直线的方程；
【答案】（1）；（2）或．.
【解析】（1）将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的方程；
（2）先求出圆心C到直线的距离，当直线斜率不存在时，得出方程，当当直线斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出方程.
【详解】解：（1）设圆的方程为
，解得
即，故圆C的标准方程为
（2）圆心C到直线的距离
当直线斜率不存在时，方程为：，
当直线斜率存在时，设直线方程为：
，
∴直线方程为：或．
【点睛】关键点睛：已知三点求圆的方程时，关键是将三点代入圆的一般方程，由方程的根得出圆的方程.
20．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
【答案】(1)线段的长度；
(2)顶点的轨迹方程为
【分析】（1）、将椭圆的方程化为标准方程，确定两点的坐标，即可求出的长度；
（2）、中根据正弦定理得,代入中并化简得到，即可得到C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支.
【详解】（1）椭圆的方程为椭圆的方程为
分别为椭圆的左焦点和右焦点，线段的长度
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且，
，，顶点的轨迹方程为
21．如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，分别是棱，的中点，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）要证平面平面，即证平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．
【详解】（1）∵，是棱的中点，
∴，又，
∴，
∵平面，平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（2）由题知平面，中，，
则两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，又，
易得，
∴ ，
设平面与平面的法向量分别为和，
则 ，即，
令，可得，
则 ，即，
令，可得，
∴，
设平面与平面所成二面角为，
则，
∴平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
22．已知椭圆过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的概念及过点的坐标待定系数计算即可；
（2）先利用直线与圆相切得出，再利用韦达定理及向量数量积计算即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的长轴长，得，
因为点在椭圆上，所以得，
所以椭圆的方程为；
（2）由直线与圆相切，得，即，
设，由
消去，整理得．
由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
所以，
，
所以，
因为，所以．
又因为，所以，
得的值为.