2023-2024学年辽宁省大连市第十二中学高二上学期12月学情反馈数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市第十二中学高二上学期12月学情反馈数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B．或C． D．
【答案】B
【分析】化简直线方程，得到直线必过的定点，可求出，，进而可求出的取值范围.
【详解】
因为直线，如图
直线：即恒过，
而，
因为直线与线段相交，结合图形，
故直线的斜率的范围为：或．
故选：B
3．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
4．下列命题正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
【答案】C
【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案.
B注意到当时不满足题目描述；
C由投影向量计算公式可判断选项正误；
D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误.
【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；
B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误；
C选项，在上的投影向量为，
故C正确；
D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线，
得，故D错误.
故选：C
5．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
6．关于圆锥曲线的命题正确的是（ ）
①设，是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；
②过定圆上一定点A作圆的弦，为原点，若，则动点的轨迹是椭圆；
③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点.
A．①②③B．①③C．②③④D．③④
【答案】D
【分析】由双曲线定义、向量线性运算及圆的性质判断①②；根据椭圆、双曲线离心率范围判断③；由椭圆、双曲线方程确定参数c和焦点位置判断④.
【详解】①若，则的轨迹不是双曲线，错；
②由，
即点P为AB的中点，而是定圆上的弦，则，则动点的轨迹是以为直径的圆，错；
③，故（可为椭圆离心率）或（可为双曲线离心率），对；
④对于，，且焦点在x轴上；
对于，，且焦点在x轴上；
所以双曲线与椭圆有相同的焦点，对.
故选：D
7．已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】由题意得，则，，
所以椭圆方程为，
因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设，显然，则，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
所以直线为，即，
因为M为直线上任意一点，
所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B.
8．已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦半径公式和得到，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到，然后根据三角形面积得到.可得答案.
【详解】由题可得抛物线方程为，所以，
如图所示，则，解得，

联立方程，消去y得：．
可知，解得，
所以．
故选：C．
9．设，分别为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.
【详解】
根据椭圆以及双曲线的定义可得，，
所以，.
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
所以，.
两边同时开方可得，.
根据不等式的性质，两边同时取倒数可得，.
故选：D.
10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）

A．三棱锥的体积不是定值
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
【详解】对于A，分别是棱的中点，则，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面，
因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，
即三棱锥的体积不变，故A错误；
对于B，因为，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，则，B错误；

对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,

设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.
二、填空题
11．抛物线的焦点到准线的距离为 ．
【答案】/0.125
【分析】先把方程化为标准形式，结合方程可得答案.
【详解】因为，所以，
由的焦点到准线的距离为，可得抛物线焦点到准线的距离为.
故答案为：
12．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
【答案】288
【分析】先将除甲外其它3个女生排一排，再分两种情况：若2个男生与女生甲排一起，再插入4空中的1个、若2个男生中的一个与女生甲排一起，再和另一个男生插入4空中的2个，最后应用分步分类计数、间接法求2个男生都不与女生甲相邻的排法.
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据“鳖臑”四面体PABC的特征，可确定外接球球心为的中点，即可求解.
【详解】如图，
由题意,则取的中点为点，
可得，即为球心，
则其半径，
则其表面积为，
故答案为：
14．如图所示，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远.现要再曲线上任一处建一座码头，向两地转运货物.经测算，从到和到修建公路的费用均为万元，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元.
【答案】
【详解】分析：以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
可得的轨迹方程为，根据双曲线的定义，结合平面几何知识，即可得结果.
详解：以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，由知点的轨迹，
即曲线的方程为，
，
修建这两条公路的总费用最低是万元，故答案为.
点睛：本题主要考查利用定义求双曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
三、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得角A的大小；
（2）先利用余弦定理求得，进而求得的周长．
【详解】（1）因为，所以，
则，所以．
又因为，所以．
（2）由余弦定理得，，即，
得，则，
故的周长为．
16．已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数的图象；
(3)利用图象解不等式．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）令，则，再根据已知区间的函数解析式及函数的奇偶性即可得解；
（2）根据函数解析式作出函数图象即可；
（3）由题意可得，即，则或，结合图象即可得解.
【详解】（1）由定义在上的奇函数，
得，
令，则，
故，所以，
所以；
（2）函数的图象如下图所示：
（3）由定义在上的奇函数，得，
则，即，
所以或，
由图可知，或，
所以不等式的解集为.
四、证明题
17．如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．

(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意先证平面，进而可得，根据勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）因为底面，底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直线平面.
（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
五、解答题
18．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.

(1)写出点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过且与平行的直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，求得，，，即可得到所求轨迹方程；
（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得，进而利用函数的性质即可求解.
【详解】（1）圆的标准方程为，故半径
因为，，故，
所以，故，
因此，
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．

（2）设直线的方程为，则直线的方程为,
联立直线与圆的方程，消元得，
则
则，
联立直线与圆的方程，消元得，
由于点在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，
不妨设，则，
，
，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
由于函数的对称轴为，故在单调递减，
故当时，取最小值，故，
所以
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.