2023-2024学年广东省部分名校高二上学期11月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省部分名校高二上学期11月联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知空间向量，，，若向量共面，则实数 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列出方程组，解之即可.
【详解】因为三向量、、共面，
设，其中、，
则，解得.
故选：C.
2．已知空间向量，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示求解.
【详解】因为，，所以，
故选:B.
3．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，，四边形的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆.
【详解】由题意知，，，
四边形有一组对角都等于，
四边形的四个顶点在同一圆上，
此圆的直径是，的中点为，
，四边形的外接圆方程为，
外接圆的方程为.
故选：A
【点睛】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.
4．曲线与轴所围成区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程求解.
【详解】
由可得，，
所以曲线表示圆的部分，
因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称，
所以曲线与轴所围成区域的面积为，
故选:B.
5．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（ ）
A．0B．1
C． D．5
【答案】C
【解析】观察f(x＋2)＝f(x)＋f（2）可知要求需求，要求需求，已知而未知，要求可结合奇函数性质，令求出
【详解】令x＝－1，得f（1）＝f(－1)＋f（2）．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f（1），
∴f（1）＝－f（1）＋f（2），∴，∴f（2）＝1，
令x＝1，得f（3）＝f（1）＋f（2）＝，
令x＝3，得f（5）＝f（2）＋f（3）＝.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查由奇函数性质求解具体函数值，抽象函数中赋值法的应用，解题关键在于利用奇函数性质求出；对于抽象函数要能通过关系式进行合理赋值.
6．已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为( )
A．0B．1
C．2D．4
【答案】B
【分析】设B(x0，ln x0)，利用中点坐标公式及已知可得：ln x0＝，将问题转化为：函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数，作出函数图象即可得解．
【详解】设B(x0，ln x0)，x0＞0，线段AB的中点为C，则C，
又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.
此方程根的个数就是曲线G关于曲线M的关联点的个数
又方程ln x0＝根的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数．
画出图象(如图)，
可知两个函数的图象只有1个交点．
故选B..
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及函数与方程思思，考查转化能力及作图能力，属于难题．
7．定义集合运算：，设，，则集合的真子集个数为
A．8B．7C．16D．15
【答案】B
【详解】由题意，，则有
四种结果，由集合中元素的互异性，则集合由3个元素，故集合的真子集个数为个，故选B
8．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出图像,即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像即可写出斜率k的取值范围.
【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆,经过一四象限.
直线过定点.
直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限,如下图所示:
直线经过点时，
直线经过点时，直线与圆相切,
结合图像可知.
故选:D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系.属于基础题.借助图像分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限是解本题的关键.
二、多选题
9．为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据方程成为圆的条件,然后对各个选项进行判断，从而求解.
【详解】由题意知：表示一个圆，
则：，化简得：，
即：或，解之得：或，
所以：A项和B项不满足要求，故A项和B项错误；
所以：C项和D项满足要求，所以C项和D项正确；
故选：CD.
10．设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（ ）
A．若点C在线段AB上，则
B．若，则
C．当时，与共线的单位向量是
D．当时，在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.
【详解】由题意可得：，
对A：若点C在线段AB上，则，则，
可得，解得或（舍去），故A正确；
对B：由，可得，
解得，故B正确；
对C：当时，则，
与共线的单位向量是，故C错误；
对D：当时，可得，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD．
11．在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AC
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
12．已知直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆均不经过点
B．若圆关于直线对称，则
C．若直线与圆相交于、，且，则
D．不存在圆与轴、轴均相切
【答案】ABD
【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解.
【详解】A：将代入，则，
所以，此时，
所以不存在值，使圆经过点，对；
B：若圆关于直线对称，则在直线上，
所以，则，对；
C：由题意，到直线的距离，
所以，则，可得或，错；
D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对；
故选：ABD
三、填空题
13．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有种基本事件，其概率为
【解析】古典概型概率
14．已知函数，若，则 .
【答案】
【解析】由，可求出的值，进而可求得.
【详解】由题意，，解得，故，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查求函数值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15．已知直线与：交于，两点，写出满足“是等边三角形”的的值为 ．
【答案】或
【分析】根据直线与圆的位置关系以及弦长公式求解.
【详解】
因为是等边三角形，所以，
设圆心到直线的距离为，
则根据弦长公式可得，，解得，
即，解得，
故答案为: 或.
16．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知，则曲线的“优美点”个数为 ．
【答案】5
【分析】由曲线与曲线交点个数即可得到曲线的“优美点”个数.
【详解】曲线的“优美点”个数即曲线与曲线交点个数.
由，可得，
即，则，
同一坐标系内作出（实线）与的图像（虚线）.
由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线的“优美点”个数为5
故答案为：5
四、解答题
17．已知的圆心为，且过点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与相切于点，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；
（2）利用直线与圆的位置关系求解.
【详解】（1）由题可知，的半径为,
所以的标准方程为.
（2）因为直线与相切于点，且,
所以，所以，
由点斜式得，，整理得，.
18．已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.
【答案】(1)
(2)递增，证明见解析
【分析】（1）由可得答案；
（2）在递增，利用单调性定义证明即可.
【详解】（1），且，
，解得：；
（2）由（1）得：在递增，
证明如下：
设任意，
则
，
，
，
，
在上单调递增.
19．已知两条直线和.
（1）若，且过点，求的方程；
（2）若与在轴上的截距相等，且的斜率为，求在轴上的截距.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出直线的斜率，由可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；
（2）求出直线在轴上的截距，利用点斜式可得出直线的方程，进而可求得直线在轴上的截距.
【详解】（1）因为直线的斜率，，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，因此，直线的方程为，即；
（2）在直线的方程中，令，可得，所以，直线在轴上的截距为，
所以，直线在轴上的截距为，
又因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，
因此，直线在轴上的截距为.
20．如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，直线平面，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理以及等体积法求解；
（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值.
【详解】（1）取中点为，连接则
又因为平面平面，平面平面，
平面,所以平面，
因为,,
所以,
设点到平面的距离为,
由等体积可得，,即，
所以.
（2）由（1）知，
所以建立如图所示空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量为，
则令则，所以；
设平面的一个法向量为，
则令则，所以；
设平面与平面所成二面角为，
则.
因为平面与平面所成二面角为锐角，所以.
21．已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量；
(2)已知，求k的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证；
（2）利用数量积的运算律，结合，即可得到关于k的不等式，求解即可
【详解】（1）证明： 因为，且､､之间的夹角均为，
所以，
所以向量垂直于向量；
（2），
所以.
因为，
所以，解得或.
22．如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，．
（1）求边的长度；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）角化边即可求解；
（2）设，根据列方程即可求解
【详解】（1）由条件，
可得：，即，
化简可得：，因为，所以
（2）因为为中点，
所以，
设，由
得，
又，
所以，
化简可得：
解得或，
又，
所以，则，
所以的面积为
【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.