2023-2024学年江西省宜春市上高二中高二上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市上高二中高二上学期第三次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数四则运算计算可得，再由虚部定义可得结果.
【详解】由可得，
所以可得z的虚部为.
故选：B
2．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）．
根据椭圆的定义：
P到两焦点的距离之和等于 4×2=8 ，
又因为 P到两焦点的距离之差为2，
可求得，P到两焦点距离分别为 5，3.
所以三角形边长分别为3，4，5.所以是直角三角形选B.
【解析】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质．
点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状．
3．直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围.
【详解】由题设且，故.
故选：D
4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．
【详解】．
故选：D．
5．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
6．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为（ ）．
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
【答案】B
【分析】根据三棱柱及平面，可判断棱的中点为D时满足题意.
【详解】如图，
当为棱的中点时，取的中点，
,
平面平面，又平面
则平面.
故选：B
7．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像，求出各点坐标结合向量共线，求出关系即可.
【详解】当时，，
所以，则，
，
则，则.
故选：A

8．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.
故选：C
二、多选题
9．已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则C是圆
B．若，且，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若，则C是椭圆，其离心率为
【答案】BC
【分析】对于A：取特值，则，代入原方程可判断；
对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断；
对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；
对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.
【详解】解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确；
对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；
对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；
对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确，
故选：BC.
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）

A．平面B．平面平面
C．D．平面
【答案】ABC
【分析】A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.
【详解】因为O为底面四边形对角线的交点，
所以O为的中点，由M是的中点，可得，
因为在平面，平面，
所以平面，A正确；
同理可推得平面，
而，
所以平面平面，B正确；
因为平面，故不可能垂直平面，D错误；
设该正四棱锥的棱长为a，
则，
所以，
因为，
所以，C正确.

故选ABC．
11．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】BD
【分析】A选项，变形后得到，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】A选项，变形得到，
故，解得，所以恒过定点，A表述正确；
B选项，圆的圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，B表述错误；
C选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，
其中变形为，圆心为，半径为1，
变形为，圆心为，半径为，
故，解得，
故圆心距为，所以，
解得，
则实数的取值范围为，C表述正确；
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故过点向圆引条切线，有，
所以当取得最小值时，取得最小值，
的最小值为，故最小值为，D表述错误.
故选：BD
12．已知曲线：，则（ ）
A．曲线围成的面积为
B．曲线截直线所得弦的弦长为
C．曲线上的点到点的距离的最大值为
D．曲线上的点到直线的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，后可得面积
对于B选项，由图可得答案.
对于C选项，设点E到点P距离最大，由图形对称性知这样的点有两个，设E在二象限，利用圆外一点到圆上距离最大距离相关知识点可解决问题.
对于D选项，由图可知相关点在第一象限，利用直线到圆上距离最大值相关知识解决问题。
【详解】当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：.画出曲线，如图所示.
对于A选项，曲线围成的面积如图可分割为一边长为的正方形和四个半径为的半圆，得曲线围成的面积为，故A正确.
对于B选项，由图可得曲线截直线所得弦的弦长为间距离.
则长度为，故B正确.
对于C选项，设点E到点P距离最大，由图形对称性知这样的点有两个，设E在第二象限，
设其坐标为，则该点坐标满足方程.其中.
则问题相当于是从上找一点E，使最大.
设圆心为.
由图可知，当且仅当三点共线时，最大.
此时，故C错误.
对于D选项，设点F到直线距离最大，由图可得点F在第一象限，
设为，则该点坐标满足方程.其中
则问题相当于从上找一点F，使F到直线距离最大.设圆心为.
由图，当且仅当与直线垂直时距离最大，设为到直线距离，则此时.故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题为曲线方程综合题，做题时以下几点很关键:
（1）对于含有绝对值的曲线方程，常通过分类讨论将其转化为普通方程.
（2）判断C，D选项正误时，首先通过几何直观得到相关点大致位置后利用圆相关知识解答了问题.
三、填空题
13．已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 .
【答案】9
【分析】利用双曲线方程及其定义解得或，又因为，即可得.
【详解】根据双曲线方程可得，
再由双曲线定义可得，解得或，
又因为，所以可得.
故答案为：
14．将一边长为和的长方形沿折成直二面角，若在同一球面上，则 .
【答案】/
【分析】根据题意利用面面垂直性质可求得，易知外接球球心在的中点处，可得外接球半径为，即可得球的体积为，计算可得结果.
【详解】作于点，取的中点为，连接，如下图所示：

易知二面角为，且平面平面，
又，所以平面，易知，
所以，
显然底面的外接圆圆心在的中点处，且易知，
即可知即为外接球球心，半径，
此时；
所以.
故答案为：
15．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】结合图形得，即求焦半径的最小值.
【详解】圆的圆心，
椭圆的焦点为，，
因为，
即求焦半径的最小值.
先证焦半径公式：
设是椭圆上任一点，
是椭圆的两焦点，
则
因为，所以，.
由焦半径公式知，则当时，
取得最小值，
则.
故答案为：

16．已知圆C：，点，在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】假设存在这样的点，，使得为常数，由条件求出点的轨迹方程，联立轨迹方程和圆方程结合已知可得对恒成立，由此可求点B的坐标.
【详解】假设存在这样的点，，使得为常数，则，
设点的坐标为，则，
将代入，得，
即对恒成立，
所以，解得或 (舍去)．
故答案为：.
四、解答题
17．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
18．已知直线和圆．
（1）若直线交圆于两点，求；
（2）求过点的圆的切线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】(1)先将圆的方程化为标准形式求得圆心与半径，利用圆心到直线的距离结合弦长公式求得的值；
(2)分类讨论①当直线的斜率不存在时，直线是圆的一条切线．
②当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，
利用圆心到直线的距离等于半径，求得值，从而求得直线的方程．
【详解】(1)由得．
所以圆的圆心为，半径．
圆心到直线的距离．
所以．
(2)①当直线的斜率不存在时，直线是圆的一条切线．
②当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，即
，因为直线与圆相切，所以．
解得，所以此时切线方程为．
由①②可知所求切线的方程为或．
19．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程.
【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.
20．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．

(1)求证：；
(2)求点与平面的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,

∵为等边三角形，
∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故平面，
而平面，∴，
又∵,，
∴.
∴，
又∵平面,平面,，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）设点与平面的距离为，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，
∴,，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故⊥平面，
而平面，所以，，
∴在中，，
∴,则易得，
由（1）知，平面，
∴为三棱锥的高，
∴
又∵，
得.
故点与平面的距离为.
21．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】（1）利用勾股定理先证，再证平面即可得面面垂直；
（2）根据条件建立合适的空间直角坐标系，根据体积先计算E坐标，再利用空间向量求面面角即可.
【详解】（1）为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直．
以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，
设且，则，
由三棱锥的体积为得：，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故．
所以平面与平面的夹角余弦值为：
.
22．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且,设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据两点斜率公式即可代入求解.
【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，
所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为.
（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：，D坐标为．所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．

【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.