2023-2024学年广东省佛山市南海区九江中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区九江中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到社区宣传的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】从六个社区中，随机选择两个社区，有，共种结果；
其中该小组到社区宣传的结果有：，共种；
该小组到社区宣传的概率.
故选：D.
2．在空间直角坐标系中，点B是点在平面内的射影，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据射影定义可得B点坐标，然后由向量模公式可得.
【详解】因为点B是点在平面内的射影，
所以，所以，所以.
故选：A
3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果.
【详解】由题意知，，，所以，，
∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.
∴椭圆方程：或
故选：C
4．若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先在直角坐标系中作出三点，再求出的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，
易得，，
又因为，所以，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为.
故选：A.

5．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】因为，，，所以，
所以，又因为侧棱与底面垂直，所以两两垂直，
以C为坐标原点，以所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：C
6．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，与半径进行对比即可得到答案.
【详解】由点在圆外，可得，
求得圆心到直线的距离，
故直线和圆C相交，
故选:A.
【点睛】判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：
（1）代数方法：联立方程，利用判断二者位置关系，比较繁琐；
（2）几何方法：利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定，比较简单.
7．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.3，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.28B．0.36C．0.54D．0.72
【答案】D
【分析】先计算出甲乙都不去参观博物馆的概率后用减去即可.
【详解】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．
故选：D.
8．在直三棱柱中，，，设点是棱的中点，点在底面所在平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】平面与平面和平面与平面成的锐二面角分别为，
利用二面角的余弦值=射影面积底面积，进而得出，，进而利用勾股定理求解
【详解】
设在平面上的射影为，在平面中的射影为，平面与平面和平面与平面成的锐二面角分别为，
因为二面角的余弦值=射影面积底面积，
，，又，，故，
因为，设点到的垂直距离为，
则，在中，，所以，，故点到点的最短距离为时，即点到点的最短距离为
故选：A
【点睛】关键点睛：利用二面角的余弦值=射影面积底面积，进而利用勾股定理求解，难点在于计算，属于中档题
二、多选题
9．设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则A，B相互独立
C．若A与B相互独立，则D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】A，若，则，A错误；
B ，因为，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
10．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．的最小值为1
D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
故的周长为，故A正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，面积的最大，
最大值为，故B正确；
因为为椭圆上异于长轴端点的动点，
所以，即，故C错误；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ABD.
11．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，且，则（ ）

A．B．
C．D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ACD
【分析】A.利用空间向量的线性运算求解判断；B.利用空间向量的数量积运算求解判断；C.利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D.连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断.
【详解】，A正确．
，B错误．
，故，C正确．
连接AC如图所示：

则即直线与平面ABCD所成的角，所以，，D正确．
故选：ACD
12．已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为
B．面积的最小值为
C．直线过定点
D．以线段为直径的圆可能不经过点
【答案】BCD
【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；
对B：当最小时，的面积会有最小值；
对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；
对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.
【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，

由，两式相减得，，故A错误；
B选项，到直线：的距离为，
而，所以的最小值为，
所以面积的最小值为，故B正确；
C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
化简得：，
由，两式相减得，
即，
由，解得，
所以直线过定点，故C正确；
D选项，由A选项，由，
解得或,
即，，，
即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题
13．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
【答案】
【详解】设正方形边长为1，则
14．在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】利用点到直线距离的向量公式即可求解．
【详解】依题意得，
则到直线的距离为
故答案为：
15．甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为 ．
【答案】
【分析】分析可知，甲队获胜有三种情况：①比赛进行三场，甲队均胜；②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜；③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，结合独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】解：设事件A为“甲队最终获得胜利”，
①比赛进行三场，甲队均胜，；
②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜，；
③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，，
则．
故答案为：
16．由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ．
【答案】
【分析】数形结合的方法.设为直线上一点，为切线长，直角中，，故最小时，切线长也最小.根据点到直线距离公式，可求的最小值，再由勾股定理可得的最小值.
【详解】解：∵圆的圆心为，半径
∴圆心C到直线的距离为

当点P在直线上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，
切线长达到最小值．设切点为A，得中，
即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．
故答案为：.
四、解答题
17．的三个顶点分别为，，，M是AB的中点.
(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；
（2）根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.
【详解】（1）由题意可知：AB的中点M为，
则边AB上的中线CM所在直线的方程为，即.
（2）由（1）可得：，且点到直线CM的距离，
故的面积.
18．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢.
(1)写出该实验的样本空间；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）考虑摸出球的编号情况，根据题意直接写出甲乙两人摸球实验的样本空间；
（2）根据（1）的结果，计算两人赢的概率，可得答案.
【详解】（1）由题意可得样本空间为
.
（2）这种游戏规则是不公平的，理由如下：
设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件，
由题意事件包含的基本事件有
，，，，，，共6个.
由古典概型的概率计算公式可得，
所以，
所以，即这种游戏规则不公平
五、证明题
19．如图，在长方体中，，为上的点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由数量积为0得到，证明出线面平行；
（2）求出平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，求出二面角的余弦值.
【详解】（1）长方体，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
则，
所以，故平面；
（2）设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，
故，
由（1）知，平面的法向量为，
故，
由图形可看出二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
六、解答题
20．已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意及椭圆方程的关系求解即可；
（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知可得且 ，解得，

则，
所以椭圆方程：.
（2）由已知可得直线斜率，方程为，
联立得，
设，，则，，
则，
所以线段的长为.
21．已知圆：和：.
(1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为.
(2)或
【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长；
(2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆：可化为，
圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式可得：
到公共弦的距离，
由垂径定理可知：公共弦长，
（2）由（1）知：圆： ，
圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或.
七、证明题
22．如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.
(1)证明：是直角三角形；
(2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)正弦值为
【分析】（1）证明平面即可；（2）先算出三棱锥的边长数据，在根据线面角的定义和等体积法，求出到平面的距离，与平面所成角的正弦值为.
【详解】（1）是的直径，则，又垂直于所在的平面，即
平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；
（2）由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为