天津市南开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份天津市南开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分试卷
满分120分 考试时间100分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号，用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置粘贴考试用条形码.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各曲线是由不同的函数绘制而成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称，中心对称图形的定义等知识点，根据轴对称，中心对称图形的定义，逐项判断即可求解，熟练掌握轴对称，中心对称图形的性质是解题的关键．
【详解】A、该图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1B. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
C. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 拋掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】A更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【解析】
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
【详解】A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故A符合题意；
B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3. 如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是相似三角形的判定和勾股定理，首先根据小正方形的长为1，利用勾股定理求出每个阴影部分的边长，然后用三边对应成比例的两三角形相似来判定，掌握利用勾股定理求出三边，然后利用三边对应成比例来判定两个三角形相似是解决此题的关键．
【详解】由图中各正方形的边长均为，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：，，；
②图中阴影三角形的边长分别为：，，；
③图中阴影三角形的边长分别为：，，；
④图中阴影三角形的边长分别为：，，；
可以得出①②两个阴影三角形的边长比，
图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
4. 若反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，得到，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了根据反比例函数的增减性求参数，正确理解反比例函数的增减性是解题的关键．
5. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
6. 如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
7. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程方程的关系、判断点所在象限等知识点，根据二次函数的图象判断出的符号是解题的关键．
先根据二次函数的图象及性质判断a、b、c的符号，进而确定的正负；再根据抛物线与x轴有两个交点，则，进而确定点所在的象限．
【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，
∴；
∵对称轴在y轴右侧，
∴，即；
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴点在第一象限．
故选A．
8. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
9. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可．
【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
10. 如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（ ）

A. B. 是等腰直角三角形
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可得，由旋转的性质可知，，，可判定A正确，B正确；根据，可得，即可得，判断C错误；由且对顶角相等，可判断D正确．
【详解】解：，，
．
由旋转的性质可知，，，
故A正确，不符合题意；
是等腰直角三角形，
故B正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，
故C错误，符合题意
∵，且对顶角相等，
∴，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11. 如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B；
②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点；
③连接，，，，，线段与相交于点C.
则下列说法中不一定正确的是（ ）
A. ，均为的切线B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意；
根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A，根据Q、O、R、P在上，运用圆内接四边形可判断B，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D，根据圆周角定理可判断C；
【详解】解：根据作图可得：为的直径，Q、O、R、P在上，
是的半径，
，均为的切线，故A正确；
Q、O、R、P在上，
Q、O、R、P四点共圆，是的内接四边形，
，故B正确；
由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦，
，
，故D正确；
所对圆心角为，所对圆周角为，
不一定等于，
不一定等于，故C不一定正确；
故选：C．
12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论：
①当时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为时，运动时间为或；
③小球运动中的最大高度为；
④小球从抛出到落地需要；
其中正确的结论有（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质；
根据二次函数的图像和性质解答即可；
【详解】
当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误；
当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确；
小球从抛出到落地需要，故④正确．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】由于转盘被分成12个大小相同扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数乘以相应概率即为红色区域的份数．
【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为，
只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份，
故只需使红色占到等份．
故涂上红色的小扇形有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，在中，D、E分别是边AB、AC的中点，若的面积是1，则的面积是______；
【答案】4
【解析】
【分析】据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=，
的面积是1，
的面积是4
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
16. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当点D在优弧上时，当点D在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，即可得出答案．
【详解】解：
分两种情况：
当点D在优弧上时，根据圆内接四边形的性质，可知，
当点D在劣弧上时，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
17. 如图，是正方形的外接圆，，点是上任意一点，于．当点从点出发按顺时针方向运动到点时，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先证明点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，求出的最小值即可；
【详解】如图，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，
在中，，
∴，
∴当点从点出发按顺时针方向运动到点时，的最小值为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在格点上．
（1）的长为______；
（2）若以为边的矩形，其面积为11．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出矩形，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 ①. ②.
图形见解析，首先在网格中取点，顺次连接，可得正方形，再取点并连接，连接并确定其中点，在网格中取点，然后连接并分别交于点，则四边形即为所求矩形
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）首先在网格中作出正方形，再利用相似三角形的性质作出矩形，并求得的值，即可获得答案．
【详解】解：（1）根据题意，由勾股定理可得；
（2）如下图，四边形即为所求．
作图过程如下：
首先在网格中取点，顺次连接，可得正方形，再取点，连接并确定中点，在网格中取点，然后连接并分别交于点，则四边形即为所求矩形．
理由如下：
由作图易知，四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数，0，1，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
（1）随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为非负数的概率.
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在双曲线上的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了列表法求概率、概率公式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
（1）由概率公式即可得出结果；
（2）直接利用列表法列举出所有可能进而得出答案．
【小问1详解】
解：抽取的非负数可能为0,1,2，
抽取出数字为非负数的概率为；
【小问2详解】
解：列出表格如图所示：
共有16个可能的结果，其中点A在双曲线上的结果有2种，
点A在双曲线上的概率．
20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）填空：
①直接写出不等式的解集______；
②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______.
【答案】（1），
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）①根据函数图象求出不等式的解集即可；
②根据反比例函数增减性比较反比例函数值的大小即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴反比例函数解析式为；
把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：①如图，当或时，一次函数在反比例函数的上面，
∴的解集为或；
故答案为：或；
②∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，，，
∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析，比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合．
21. 如图1，中，，，
（1）求证；
（2）如图2，若，，，求a的值．
【答案】（1）详见解析；
（2），详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，
（1）根据，即可求证，即可求证；
（2）根据可得，再利用已知条件即可求得的长；
熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
22. 如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点．
（1）求和的度数；
（2）如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据等边对等角得出，等量代换得出，证明，根据切线的性质得出，即可得出，从而求得；
（2）连接，设与交于点，连接，得出是等腰直角三角形，根据垂径定理，，得出设，则，得出，勾股定理求得，得出，根据平行线分线段成比例得出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，设与交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，又，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
设，则，
∴中，，
解得：，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，切线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为（宽不大于长），面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时x的值；
（3）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，花圃围成最大面积为
（3），
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，正确列出杉树解析式和方程是解答此题的关键．
（1）根据为，BC就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式，根据墙的长度求出x的取值范围；
（2）化为顶点式求解即可；
（3）根据面积为列方程求解，然后求出x的取值范围即可求解．
【小问1详解】
根据题意，得，
即所求的函数解析式为：，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴是直线，
∴当时，花圃围成的最大面积为；
【小问3详解】
由题意得，
，
解得，．
∴，
∴，
∴符合题意，
∴，．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点．
（1）如图2，当时，求点的坐标；
（2）如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为．
①求的度数；
②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）．
【答案】（1）
（2）①，②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，故，在中，利用勾股定理，得到，由此得到答案．
（2）①过点作交于点，通过证明，得到，又，故，即点为等腰直角斜边的中点，由此得到答案．
②通过证明，得到，，中，由勾股定理得：，即，由此得到．
（3）由（2）得到，，在等腰中，由勾股定理得：，又，，故，把代入得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，
得到如图正方形，
由旋转的性质得：
，
四边形是正方形，
，，
在中，
，
由勾股定理，
得：，
，
解得：，，
点的坐标为．
【小问2详解】
根据题意，由旋转的性质，
得：，
在和中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：
，
，
如图，过点作交于点，
则，即，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
又，
，
即点为等腰直角斜边的中点，
综上：①；
②
【小问3详解】
根据题意，如图所示，
由（2）得：
，，
在等腰中，由勾股定理得：
，
即，
，
，
又的面积为，
，
，
，
把代入得：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理，利用已知条件，作正确的辅助线，构造全等的三角形，是解答本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点，与轴交于点和点，拋物线的顶点为.
（1）求此抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）若点，均在此拋物线上，其横坐标分别为，且，两点的纵坐标的差为
①求的值
②将点向上平移个单位得到点，将拋物线沿轴向右平移个单位得到新拋物线，点的对应点为点，点的对应点为点，顶点的对应点为点在抛物线平移过程中，当的值最小时，请填空：______，新抛物线的顶点的坐标为______，的最小值为______.
【答案】（1），
（2）①；②，，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据题意列出方程，解方程即可求解；
②分别表示出，勾股定理表示出，转化为两点到轴的距离的和的最值问题，即可求解．
【小问1详解】
解：将，代入得，
解得：，
∴
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：①∵点，均在此拋物线上，其横坐标分别为，且，两点的纵坐标的差为
∴①或②；
方程①无解，解方程②得或（舍去）
∴；
②当时，，
解得：或，
∴,
∵将点向上平移个单位得到点，
∴，
∵横坐标为,横坐标，
∴的纵坐标为，的纵坐标为，
即，，
∴，，
∴
即点与的距离和最小值，
取点关于的对称点为，
∴与的距离即为的最小值，
∴的最小值为
设过点与的直线解析式为
∴
解得：，即
令，解得：，即
∴为
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，轴对称求线段和的最值问题，勾股定理求最值问题，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．