2022-2023学年山东省东营市广饶县李鹊中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省东营市广饶县李鹊中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=−10，则ab的值是( )
A. −2B. 2C. −50D. 50
3.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是
( )
A. 360x=480140−xB. 360140−x=480x
C. 360x+480x=140D. 360x−140=480x
4.某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图(如图)，则参加社团活动时间的中位数所在的范围是( )
A. 4−6小时
B. 6−8小时
C. 8−10小时
D. 不能确定
5.下列分式x2−2x2y−xy，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A. 15B. 18C. 21D. 24
7.某组数据的方差s2=15[(x1−4)2+(x2−4)2+…+(x5−4)2]，则该组数据的总和是( )
A. 20B. 5C. 4D. 2
8.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两班的平均水平相同B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D. 甲班成绩优异的人数比乙班多
9.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
10.如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是( )
A. BE=DFB. AF⊥BD，CE⊥BD
C. ∠BAE=∠DCFD. AF=CE
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：5x2−5y2= ______ ．
12.如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移BE距离就得到此图，已知AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm.则图中阴影部分的面积是______ ．
13.已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为(a,b)，则点D的坐标为______．
14.若关于x的方程x+1x−1+2=ax−1无解，则a的值是______．
15.若关于x的二次三项式x2+ax+16是一个完全平方式，则a=______．
16.一个多边形的内角和比四边形内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角的度数是______．
17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF/​/BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为______．
18.如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点C、A在直线l上，将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点P2022，则AP2022= ．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)解方程：1x−2+1=2x2x+1；
(2)因式分解：(a+b)2−9(a−b)2．
20.(本小题8分)
如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．
(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；并写出C2点的坐标．
21.(本小题10分)
先化简(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，再从−2，−1，2中选一个合适的数代入并求值．
22.(本小题10分)
中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)写出扇形图中a=______%，并补全条形图；
(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是______ 个、______个．
(3)该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
23.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．
24.(本小题10分)
某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
25.(本小题10分)
已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．
(1)当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN=MN；
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形是中心对称图形，符合题意；
D.图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
【解答】
解：a+b=5时，
原式=ab(a+b)=5ab=−10，
解得：ab=−2．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程．
设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．
【解答】
解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140−x)万元，
根据题意，可得：360x=480140−x，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了频数分布直方图，中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．100个数据的中间的两个数为第50个数和第51个数，利用统计图得到第50个数和第51个数都落在第三组，于是根据中位数的定义可对各选项进行判断．
【解答】
解：100个数据，中间的两个数为第50个数和第51个数，
而第50个数和第51个数都落在第三组，
所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为6−8(小时)．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵x2−2x2y−xy=−xy，12xy9z3=4xy3z3，
∴x2−2x2y−xy，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有x+1x2+1，−2a2−2a，一共2个．
故选：B．
根据最简分式的定义对各分式进行判断．
本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
6.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE=12(BC+CD)=9，
∵BD=12，
∴OD=12BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故选：A．
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知，这组数据共5个，这5个数据的平均数为4，
所以该组数据的总和是5×4=20，
故选：A．
由方差的计算公式得出这组数据共5个，这5个数据的平均数为4，据此可得答案．
本题主要考查方差、平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．
由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义无法得出选项B，即B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．
【解答】
解：A、甲、乙两班的平均水平相同；A正确；
B、题干所给的信息无法得到甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；B不正确；
C、甲班的方差大于乙班的方差，所以乙班的成绩比甲班的成绩稳定；C不正确；
D、乙班的中位数等于95大于甲班的中位数，甲班成绩优异的人数比乙班少；D不正确；
故选A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA/​/CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=3，
∴CD=CE+DE=2+3=5，
∴AB=5．
故选：D．
10.【答案】D
【解析】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；
A、若BE=DF，则OB−BE=OD−DF，即OE=OF，故本选项错误；
B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项错误；
C、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项错误；
D、AF=CE无法证明得到OE=OF，故本选项正确．
故选D．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
11.【答案】5(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=5(x2−y2)=5(x+y)(x−y)，
故答案为：5(x+y)(x−y)．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12.【答案】26cm2
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=4，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：∵△ABC沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB，
∵AB=8，DH=3，
∴HE=DE−DH=8−3=5，
∴阴影部分的面积=12×(5+8)×4=26cm2．
故答案为26cm2．
13.【答案】(−2−a,−b)(2−a,−b)
【解析】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB=2，A(a,b)，
∴B(a+2,b)，
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D(−a−2,−b)；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得B(a−2,b)，则D(−a+2,−b)．
故点D的坐标为(−a−2,−b)或(−a+2,−b)．
故答案为：(−2−a,−b)，(2−a,−b)．
根据平行四边形的性质得到CD=AB=2，根据已知条件得到B(2+a,b)，或(a−2,b)，由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类思想的应用．
14.【答案】2
【解析】解：x+1x−1+2=ax−1，
分式方程去分母得：x+1+2(x−1)=a，
由分式方程无解，得到x−1=0，即x=1，
将x=1代入整式方程得：1+1=a，
解得：a=2．
故答案为：2．
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x−1=0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15.【答案】±8
【解析】解：中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故a=±8，
解得a=±8，
故答案为：±8．
这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故−k=±8，求解即可
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
16.【答案】135°
【解析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数．
解：设这个多边形边数为n，则(n−2)⋅180°=360°+720°，
解得：n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
答：这个多边形的每个内角是135度．
故答案为：135°．
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．
17.【答案】12
【解析】解：∵AF/​/BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∠AFC=∠FCD∠AEF=∠DECAE=DE
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12．
故答案为：12
由于AF/​/BC，从而易证△AEF≌△DEC(AAS)，所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
18.【答案】8088
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到AP的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键．
观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2022除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=5；
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=5+4=9；
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=5+4+3=12；
又∵2022÷3=674，
∴AP2022=674×12=8088，
故答案为：8088．
19.【答案】解：(1)1x−2+1=2x2x+1
方程两边同时乘以(x−2)(2x+1)得，
2x+1+(x−2)(2x+1)=2x(x−2)，
整理得2x−3x+4x=1，
即3x=1，
解得：x=13，
经检验，x=13是原方程的解；
(2)(a+b)2−9(a−b)2
=[(a+b)+3(a−b)][(a+b)−3(a−b)]
=(4a−2b)(4b−2a)
=4(2a−b)(2b−a)．
【解析】(1)方程两边同时乘以(x−2)(2x+1)，化为整式方程，解方程即可求解．
(2)根据平方差公式因式分解，最后提公因式分解即可求解．
此题考查了解分式方程和因式分解，熟练掌握运算方法和步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，C2点的坐标(2,3)．

【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−平移变换，旋转变换知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．
21.【答案】解：原式=(x−1x−1−1x−1)÷(x−2)2(x+1)(x−1)
=x−2x−1×(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2，
当x=−2时，原式=−2+1−2−2=14．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】(1)25； 补全的统计图如下：
(2)5；5；
(3)50+40200×1800=810(名)．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【解析】【分析】
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．
(1)用1减去其他个数所占的百分比即可得到a的值，根据百分比求出人数再补全条形统计图即可；
(2)根据众数与中位数的定义求解即可；
(3)先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．
【解答】
解：(1)扇形统计图中
a=1−30%−15%−10%−20%=25%，
设引体向上6个的学生有x人，
由题意得x25%=2010%，解得x=50．
条形统计图补充如下：
(2)由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为(5+5)÷2=5
(3)见答案．
23.【答案】解：四边形EHFG是菱形．
理由：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG，FH，FG，EH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线
∴FG/​/CD，HE//CD，FH/​/AB，GE/​/AB，
∴GE/​/FH，GF//EH(平行于同一条直线的两直线平行)；
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，GE是△ABD的中位线，
∴GF=12CD，GE=12AB，
∵AB=CD，
∴GF=GE，
∴四边形EHFG是菱形．
【解析】本题考查菱形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
先运用三角形中位线定理可得到FG/​/AB，HE//AB，FH/​/CD，HE//DC，从而再根据平行于同一条直线的两直线平行得到GE/​/FH，GF/​/EH，可得到四边形ABCD是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．
24.【答案】解：(1)设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有
3600x+10=360090%x，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
90%x=90%×40=36．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
(2)设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则
y=(100−40)m+(90−36)(100−m)=6m+5400，
依题意有0