2024年江苏省数学中考一轮模拟卷（二）

这是一份2024年江苏省数学中考一轮模拟卷（二），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的绝对值是 （ ）
A．B．2023C．D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A．B．C．D．或
4．如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（ ）

A． B．
C． D．
6．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．B．C．D．
7．近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差如下表所示：
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．如图，在中，已知．，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．分解因式：2x2﹣8=
10．无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米，用科学记数法表示8350为 ．
11．计算： ．
12．如图，在中，，，，则 ．
13．已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值为 ．
14．笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中．，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，当，时，的长为 ．

15．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中
18．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
19．2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：《流浪地球2》，《满江红》，《无名》．甲、乙两人分别从中任意选择一部观看．
(1)甲选择《满江红》电影是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）；
(2)求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）．
20．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图（如图）．请根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_________度；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)若该校共有1560名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？
21．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
(1)求河的宽度；
(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AC相切于点P．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．
23．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．如图①，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．
(1)【问题发现】如图②，当时，与的数量关系为__________，与的数量关系为________．
(2)【类比探究】如图③，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据负数的绝对值为它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2023；
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值．解题的关键是掌握负数的绝对值为它的相反数．
2．D
【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3．C
【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可．
【详解】解：，
锐角的度数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键．
4．C
【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在中，
∵，
∴
∵在中，，
∴由勾股定理可得：
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
5．C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看可得第一列有1个正方形，第二列有2个正方形，第三列有1个正方形，如图所示：

故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图的定义是解题的关键．
6．D
【分析】根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：设被覆盖的多项式为，
则，
，
覆盖的多项式为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键．
7．A
【分析】先看平均数最小的，成绩较好，再判断方差，方差越小成绩越稳定，据此即可求解．
【详解】解：根据表格可知，甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
而甲的成绩的方差比丙的成绩的方差要小，
∴若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择甲，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
8．B
【分析】取的中点为，连接，，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．
【详解】解：如图：取的中点为，连接，，

，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确分析出的取值范围是解题关键．
9．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
10．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正整数；当原数的绝对值小于时，n是负整数．
【详解】解：由题意得
．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的定义，理解定义是解题的关键．
11．
【分析】根据异分母分式加减法法则计算，得到答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
12．10
【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
13．8
【详解】试题分析：原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式的值代入计算即可求出值．
解：∵a﹣2b=﹣2，
∴4﹣2a+4b=4﹣2（a﹣2b）=4+4=8．
故答案为8
14．
【分析】如图，连接，作于．首先证明是等腰直角三角形，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．

，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】根据抛物线过点，两点，得轴，且m、n是方程的两根，所以，，又根据线段AB的长不大于4，得，从而得，解得，再根据当时，的值随a的增大而增大，当时，的值最小，最小值．
【详解】解：又∵抛物线过点，两点，
∴轴，且m、n是方程的两根，
∴，，
∴，
∵线段AB的长不大于4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值随a的增大而增大，
∴当时，的值最小，最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，根据题意求得是解题的关键．
16．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的计算法则和二次根式的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算．熟知负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
17．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
【详解】原式==，
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
18．见解析
【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．
19．(1)随机事件
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据事件的分类进行判断即可求解．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【详解】（1）甲选择《满江红》电影是随机事件．
故答案为：随机．
（2）《流浪地球2》，《满江红》，《无名》分别用A、B、C表示，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，
∴甲、乙2人选择同1部电影的概率为．
【点睛】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)1；2
(2)54
(3)见解析
(4)78人
【分析】（1）根据读3部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数，再算出读1部的人数，然后即可得到众数和中位数；（2）用360°乘以读4部所占的百分比即可得到答案；（3）根据（1）中读1部的人数，可以将条形统计图补充完整；（4）用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案．
【详解】（1）本次调查的人数：人，
读1部的人数：40-2-10-8-6=14人，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
中位数：部，
故答案为：1，2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：54；
（3）由（1）知，读1部的人数：40-2-10-8-6=14人，
补全条形统计图如图所示，
；
（4）（人），
答：估计该校四大名著一部没有读过的学生约有78人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，用样本的百分比估计总体，圆心角度数等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．(1)（30+30）米；
(2)20米．
【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题．
22．（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；
（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH，然后结合勾股定理即可解决问题.
试题解析：
（1）连接OP，
∵AC是⊙O的切线，
∴OP⊥AC，
∴∠APO=∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠OPB=∠PBC，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠PBC=∠OBP，
∴BP平分∠ABC；
（2）作PH⊥AB于H．则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，
又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，
∴△PBC≌△PBH ，
∴PC=PH=1，BC=BH，
在Rt△APH中，AH=，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2
∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，
即42+BC2=(+BC)2，
解得．
23．(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
24．(1)，
(2)变化，，见解析
(3)或
【分析】（1）由线段的和差关系可得DP＝BM，由正方形的性质可得CNPD；
（2）通过证明△ANC∽△APD，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【详解】（1）BM＝PD，，
理由如下：
当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，
∴AD﹣AP＝AB﹣AM，
∴DP＝BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，
∴ACAD，ANAP，
∴AC﹣AN（AD﹣AP），
∴CNPD，
故答案为：BM＝PD，；
（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，
∴，，
∴.，
如图（3）连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC＝∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴，
∴；
（3）如图，当点N在线段CM上时，
∵AD＝4，AD＝2AB，
∴AB＝CD＝2，
∴AC，
∵AP＝2，AP＝2AM，
∴AM＝1，
∴CM，
∴CN＝CM﹣MN2；
如图，当点M在线段CN上时，
同理可求CM，
∴CN＝CM+MN2；
综上所述：线段CN的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．(1)yx2﹣2x+6
(2)S△CPQ的最大值为，点P的坐标为（﹣3，6﹣3）
(3)存在，点M的坐标为（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出CQ与PH的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出CM的解析式，联立方程组可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）交y轴于点C，
∴点C（0，6），
∴OC=6，
∵OA=OC=3OB，
∴OA=OC=6，OB=2，
∴点A（-6，0），点B（2，0），
将点A，点B坐标代入解析式，可得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-x2-2x+6；
（2）解：如图，过点P作PH⊥CO于H，
∵OA=OC=6，
∴∠OCA=45°，
∵PH⊥OC，
∴∠ACO=∠CPH=45°，
∴PH=CH，
∵点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，
∴CP=2t，OQ=t，
∴PH=CH=t，CQ=6-t，
∴S△PCQCQ×PH（﹣t2+6t）（t﹣3）2，
∴当t=3时，S△CPQ的最大值为，
∴PH=CH=3，
∴OH=6-3，
∴点P的坐标为（-3，6-3）；
（3）解：如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，
∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°，
∴∠OCH＝30°，
∴tan∠OCH，
∴OH＝2，
∴点H（﹣2，0），
∴直线CM的解析式为：yx+6，
联立方程组可得：，
解得：（舍去）或，
故点M（﹣4﹣2，﹣4）；
当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G，
∵∠ACM'＝15°，∠ACO＝45°，
∴∠OCG＝60°，
∴tan∠OCG，
∴OG＝6，
∴点G（﹣6，0），
∴直线CM'的解析式为：yx+6，
联立方程组可得：，
解得：（舍去）或，
故点M（﹣4，）；
综上所述：点M的坐标为（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
（秒）
（）
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…