2023-2024学年山东省新泰市第一中学（实验部）高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省新泰市第一中学（实验部）高二上学期第二次月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，.
故选：B
2．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.
【详解】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，
即，整理得，而，解得，
所以d的值为1.
故选：C
3．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由直线平行求得的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为，，且，
所以，且，解得，
则，即，，
所以与的距离为.
故选：C.
4．设数列满足，且，则（ ）
A．-2B．C．D．3
【答案】A
【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.
【详解】因为，，
所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
5．已知圆，直线与圆C相交于两点，若圆C上存在点P，使得为正三角形，则实数m的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】由题意可得，进而得到圆心C到直线AB的距离为1，进而根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由圆，则圆心，半径，
因为圆C上存在点P，使得为正三角形，即，
则，故圆心C到直线AB的距离为，
则，解得或.
故选：C.
6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解.
【详解】
抛物线的焦点，
设，假设，
显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零，
设弦所在的直线方程为，
联立，消去可得，，
所以，
因为，所以，则，
所以，解得，所以，
所以，
所以弦的中点的坐标为，
所以弦的中点轴的距离为，
故选:C.
7．椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法及点斜式计算即可.
【详解】设，，则AB的中点坐标为，
所以，，
将A，B的坐标代入椭圆的方程，
作差可得：，
所以，
所以直线AB的方程为，即经检验适合题意．
故选：B
8．不过原点的直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点差法，结合双曲线的几何性质，求解双曲线的离心率；
【详解】
设点，
则有
两式作差解得：即
设
因为
代入整理得：即
由题意知
因为，，
又因为，
解得：即，
故选：B.
二、多选题
9．已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A．B．当时，最大
C．D．
【答案】AC
【分析】由题意首先得出，从而判断A，进一步根据等差数列前项和判断BCD三个选项.
【详解】由题意等差数列 是递减数列，且满足，所以，
从而，故A正确；而，所以当且仅当或时，最大，故B错误；
由B选项分析可知，故C正确；因为，故D错误.
故选：AC.
10．点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
【答案】BC
【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.
【详解】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC.
11．在正方体中，E、F、G分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥与正方体的体积之比为
D．存在实数使得
【答案】AD
【分析】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，应用向量法判断直线位置关系、求夹角余弦值、求点面距，结合棱锥、棱柱体积公式以及向量共面的坐标表示判断各项正误.
【详解】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，，
，则，故，A对；
，则，
故直线与EF所成角的余弦值为，B错；
，设为平面的一个法向量，
则，取，有，而，
所以到面的距离，又，
所以中，则，
所以，而，
所以三棱锥与正方体的体积之比为，C错；
由，则，
故存在实数使得，D对.
12．已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与轴相交
C．最小值为16
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有2条.
【答案】AC
【分析】利用抛物线性质计算A正确，举反例得到B错误，确定根与系数的关系，代入数据利用均值不等式计算C正确，直线至少有3条，D错误，得到答案.
【详解】抛物线：的准线为：，则，，
抛物线：，，
设直线为，则，故，
，，

对选项A：，正确；
对选项B：取，则，半径，中点坐标为圆心，
即圆心到轴的距离等于半径，相切，错误；
对选项C：，
，
当且仅当，即，或，时等号成立.正确；
对选项D：设直线，，则，
，解得，即与抛物线相切，有一个交点，
又与与抛物线只有一个交点，至少有3条，错误；
故选：AC.
三、填空题
13．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 .
【答案】
【分析】先建立空间直角坐标系并求出点的坐标，接着求出向量，，，再求平面的一个法向量，最后求CD与平面BDC1所成角的正弦值.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图

设，则，，，，
则，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以平面的一个法向量
设CD与平面BDC1所成角为，
所以
故答案为：.
【点睛】本题考查利用空间向量求线面所成角的正弦值，是中档题
14．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据“等比差”数列的概念可得，进而得解.
【详解】由数列为“等比差”数列，
则，
所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
则，
所以，
故答案为:.
15．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】对曲线进行变形整理，观察发现曲线为圆的一部分，画出对应范围内的图形，接着计算直线的恒过点，当直线与对应的图形有两个交点讨论范围即可.
【详解】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，
直线，即，令解得则其过定点，如图所示：
当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，
得或，所以，，所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .

【答案】
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
四、解答题
17．已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标.
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，
解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
18．如图，在平行六面体中，，.求：

(1)的长；
(2)直线与所成的角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果；
（2）可知，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，
可得，
所以，即的长为.
（2）因为，
可得，即，
且，
则，
所以直线与所成的角的余弦值为.
19．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，
（2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设的公差为d，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
故，
（2）依题意，．
当时，，故；
当时，，
故．
故
20．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
(1)求的“欧拉线”方程；
(2)若圆M与圆有公共点，求a的范围；
(3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；
（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围
（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.
【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，
由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上，
设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，
由可得：的中点，即，所以，
故的方程为.
（2）因为与圆相切，故，
圆的圆心坐标为，半径，
则要想圆与圆有公共点，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故，所以.
（3）因为，
所以该式子是表示点到点、点的距离之和，
又，
所以上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值.
设点关于直线的对称点为，
则有解得，即.
所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.
21．在（图1）中，为边上的高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.

(1)证明：平面；
(2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由二面角定义确定为二面角的平面角，即，根据线面垂直的判定和性质证，再由已知证，最后根据线面垂直的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，向量法求点面距离得到关于的方程，即可求值.
【详解】（1）在题图2中，则为二面角的平面角，即，
又，面，所以平面，
由平面，所以，
题图1中及，所以，
在中，由余弦定理得，
又，所以.
又，面，所以平面.
（2）以为坐标原点，以、、（）为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在中，所以.
所以，
则，令，则，
由，则，
所以且，，，
设平面的法向量为，则，
取，所以，而
所以，解得或（舍去），故.
22．已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）由已知得，动点的轨迹为椭圆，待定系数法求方程即可；
（2）设两点的坐标，表示出的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求的面积.
【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，，
所以曲线的方程为
（2）设，，直线：；
，到直线的距离，
所以
另一方面，因为，是椭圆上的动点，
所以可设，，，
由，得，，则，
为定值.
【点睛】关键点睛：本题第二问采用三角换元得到面积表达式，再利用得到，再代入得到面积定值.