新高考数学二轮复习考点突破学案3.3《数列综合应用》微重点（2份打包，原卷版+教师版）

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考点一 构造辅助数列
例1 (1)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an﹣3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2×3n－1－1)
C.{an}为递增数列
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝3n﹣n﹣1
(2)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于( )
A.2100﹣3 B.2100﹣2 C.2101﹣3 D.2101﹣2
规律方法
(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ).
(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].
跟踪演练1 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an﹣1﹣n＋2(n≥2，n∈N*)，若an>980，则n的最小值是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
(2)已知数列{an}满足a2＝0，a2n＋1＝a2n＋eq \f(1,n)，a2n＋2＝a2n＋1﹣eq \f(1,n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的第2 022项为( )
A.eq \f(2 021,2 022) B.eq \f(2 023,2 022) C.eq \f(1 010,1 011) D.eq \f(1 012,1 011)
考点二 利用an与Sn的关系
例2 已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，eq \f(nan,2)，Sn﹣1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝1﹣eq \f(9,a\\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq \f(89,176)，求正整数n的值.
规律方法 在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn﹣Sn﹣1求出an.
跟踪演练2 (1)已知数列{an}满足a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,22)a3＋…＋eq \f(1,2n－1)an＝2n，则a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022等于( )
A.2(22 022﹣1) B.eq \f(2,3)(22 022＋1) C.eq \f(2,3)(24 044﹣1) D.eq \f(2,3)(24 044＋1)
(2)(多选)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若2anSn＝1＋aeq \\al(2,n)，bn＝lg2eq \f(Sn＋2,Sn)，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A.{Seq \\al(2,n)}是等差数列
B.anC.Sn≤ SKIPIF 1 < 0
D.满足Tn≥3的n的最小正整数解为10
专题强化练
1.已知数列{an}的首项为10，且满足2an＋1＋an＝3，则满足不等式|an﹣1|A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知数列{an}满足nan＋1＝(n＋1)an＋2(n∈N*)，且a1＝1，则a2 023等于( )
A.6 065 B.6 067 C.4 044 D.4 043
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝(﹣1)nan＋eq \f(1,2n)(n∈N*)，则S100等于( )
A.﹣eq \f(1,2100) B.0 C.eq \f(1,2100) D.eq \f(1,2101)
4.在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝3an＋2n＋1，则an等于( )
A.n·2n B.eq \f(5,2)﹣eq \f(1,2n) C.2·3n﹣2n＋1 D.4·3n﹣1﹣2n＋1
5.若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0,2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn﹣2，则a2 022＋b2 022＝________.
6.已知数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，eq \f(an－2an＋1,an＋2an＋1)＝eq \f(1,n＋1)，则满足an>eq \f(1,1 000)的n的最大值为________.
7.已知数列{an}满足eq \f(a1,a1－1)＋eq \f(a2,a2－1)＋eq \f(a3,a3－1)＋…＋eq \f(an,an－1)＝eq \f(2,an－1).
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1－an,an)))为等比数列；
(2)已知bn＝an(an＋1﹣1)，求数列{bn}的前n项和Sn.
微重点10 子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
考点一 奇数项、偶数项
例1 已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数，,2an，n为偶数，))n∈N*.设bn＝a2n﹣1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n项和.
规律方法
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(﹣1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n﹣1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题.
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k﹣1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k﹣1＝S2k﹣a2k.
跟踪演练1 已知数列{an}满足an﹣1﹣an＝an﹣an＋1(n≥2)，且a1＝1，a7＝13；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(3n－1,2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))求数列{cn}的前n项和Tn.
考点二 两数列的公共项
例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(3n2＋n,2)，{bn}的前n项之积Tn＝ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*).
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.
规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
跟踪演练2 将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
考点三 分段数列
例3 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段.常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等.
跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝eq \f(1,3)(an﹣1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an·sin eq \f(nπ,2)，求数列{bn}的前100项的和T100.
专题强化练
1.已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3﹣2b1，S7＝7a3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数(表示不超过x的最大整数)，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝9，S7＝49.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n≤10，,2bn－10，n>10，))求数列{bn}的前100项和.
3.已知等比数列{bn}和递增的等差数列{an}满足a1＝12，b1＝1，a2＝5b2，a3＝2b3.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和数列{bn}中的所有项分别构成集合A和B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前63项和S63.
4.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝kan(k≠1)，n∈N*，a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.
(1)求k的值和{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\\al(2,n)，n为奇数，,lg2an，n为偶数，))求数列{bn}的前n项和Sn.
第一列
第二列
第三列
第一行
1
5
2
第二行
4
3
10
第三行
9
8
20