中考数学专题练——6三角形

这是一份中考数学专题练——6三角形，共34页。

A．55°B．62°C．120°D．130°
2．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（ ）
A．角平分线AD，全等依据SAS
B．中线AD，全等依据SSS
C．角平分线AD，全等依据HL
D．高线AD，全等依据HL
3．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE．若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°B．69°C．71°D．72°
4．（2021•鼓楼区二模）如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（ ）
A．10B．2C．13D．4
5．（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（ ）
A．m°B．（90−12m）°C．（90﹣m）°D．（90−32m）°
二．填空题（共12小题）
6．（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 ．
7．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
8．（2022•鼓楼区二模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，BC=3．若点P在△ABC内部（含边界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，则所有满足条件的P组成的区域的面积为 ．
9．（2022•南京一模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 ．
10．（2022•玄武区一模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，设CD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数表达式为 ．
11．（2022•雨花台区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为 ．
12．（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是 ．
13．（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为 ．
14．（2021•鼓楼区二模）将一副三角板如图摆放，则∠1＝ °．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
16．（2021•建邺区一模）如图，在△ABC中，AB＝82，BC＝10，DE是AC的垂直平分线，分别交AC、AB于点D、E，O是线段DE上一点，若OB＝OC，OB⊥OC，则DE＝ ．
17．（2021•南京模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是斜边AB的中垂线，交AC于点E，△EBC的周长为14，则AB＝ ．
三．解答题（共7小题）
18．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
19．（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．
（1）求证AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．
20．（2022•鼓楼区二模）藏宝地之谜．
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图．
（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设点B的坐标为（10，0）．
①若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 ；
②若P的坐标为（﹣4，8），则Q的坐标为 ；
…
（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
（3）写出证明（2）中猜想的思路．
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 ，可使（2）中的猜想仍然成立．
21．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
22．（2022•建邺区二模）如图，已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长．
23．（2022•建邺区二模）如图，点D在线段AB上，AB＝BC＝CD，AE∥CD．BE与CD相交于点F，∠ABE＝∠BCD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠BCD＝20°，求∠ADE的度数．
24．（2021•玄武区二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，DE∥BC．求证：DM＝EN．
中考数学专题练——6三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．55°B．62°C．120°D．130°
【解答】解：如图，连接CP．
∵AB＝AC，∠A＝55°，
∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣55°）＝62.5°，
∵∠APC＝∠B+∠PCB，
∴62.5°＜∠APC＜125°，
故选：C．
2．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（ ）
A．角平分线AD，全等依据SAS
B．中线AD，全等依据SSS
C．角平分线AD，全等依据HL
D．高线AD，全等依据HL
【解答】解：A、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故A不符合题意；
B、当AD是中线时，则利用SSS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故B不符合题意；
C、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故C符合题意；
D、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△ABD≌△ACD，从而可解，故D不符合题意；
故选：C．
3．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE．若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°B．69°C．71°D．72°
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BDE和△BDC中，
BE=BC∠EBD=∠CBDBD=BD，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠BDE＝∠BDC，
∵∠ADE＝38°，
∴∠BDC＝∠ADB+38°，
∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，
∴∠ADB＝71°，
故选：C．
4．（2021•鼓楼区二模）如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（ ）
A．10B．2C．13D．4
【解答】解：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴BF＝CF=12BC=12×4＝2，AE＝DE=12AD=12×6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，
∵∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，
在△AOE和△OBF中，
∠AEO=∠OFB∠A=∠BOFOA=OB，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF＝2，
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3，
∴OA=AE2+OE2=32+22=13，
故选：C．
5．（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（ ）
A．m°B．（90−12m）°C．（90﹣m）°D．（90−32m）°
【解答】解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∠EFC=∠DGB∠C=∠BCE=BD
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
DE=ADEF=DG
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（180−m2）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180−180−m2）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180−180−m2+m）°＝（90−32m）°．
故选：D．
二．填空题（共12小题）
6．（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 （3，33） ．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴△ACD∽△AOB，
∴CDOB=ACAO，
∵OC＝2AC，CD＝2，
∴AO＝3AC，
∴2OB=13，
解得OB＝6，
作AE⊥OB于点E，
∵△AOB是等边三角形，
∴OE=12OB＝3，OA＝OB＝6，
∴AE=OA2−OE2=62−32=33，
∴点A的坐标为（3，33），
故答案为：（3，33）．
7．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 a＝4或a＞8 ．
【解答】解：①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，如图所示：
则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，
过点M作MH⊥OB于点H，
当MH＞MN，满足条件的点P恰好只有一个，
∵MN＝4，∠AOB＝30°，
当MH＝4时，OM＝2MH＝8，
∴当a＞8时，满足条件的点P恰好只有一个，
②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个，
此时MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝4，
∴a＝4，
综上，满足条件的a的取值范围：a＝4或a＞8，
故答案为：a＝4或a＞8．
8．（2022•鼓楼区二模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，BC=3．若点P在△ABC内部（含边界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，则所有满足条件的P组成的区域的面积为 14π−338 ．
【解答】解：如图，作△ABC，作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D，作△BCD的外接圆弧，圆心为O，连接OB，OC，OE，
∵AB＝2，AC＝1，BC=3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠A=BCAB=32，
∴∠A＝60°，∠ABC＝30°，
∵∠PBC≤∠PBA，
∴点P在BD左侧，
∵∠PBC≤∠PCB，
∴点P在DE下侧，
∵BC=3，
∴CE=32，
∵∠DBE=12∠ABC＝15°，
∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝75°，
∴∠BDC＝2∠BDE＝150°，
当点P在圆弧CD上时，∠BPC＝∠BDC＝150°，
∴∠PBC+∠PCB＝30°，
∵∠PBC+∠PBA＝30°，
∴∠PCB＝∠PBA，
∵∠PCB≤∠PBA，
∴点P在圆弧内侧，
∵OB＝OC＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠OBE＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC=3，∠OCD＝30°，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得：
OE=OC2−CE2=32，
∴S扇形OCD=30°360°π•OB2=14π，S△OCE=12CE•OE=338，
∴点P组成的区域的面积为14π−338，
故答案为：14π−338．
9．（2022•南京一模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 5＜AB＜7 ．
【解答】解：由三角形的性质得：
BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7．
∵∠C为钝角，
∴AB边最长，
∴5＜AB＜7，
故答案为：5＜AB＜7．
10．（2022•玄武区一模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，设CD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数表达式为 y＝4−12x2 ．
【解答】解：连接BC，交OD于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，OA＝OB，
∴∠OEB＝∠CED＝∠ACB＝90°，CE＝BE，
∴CE2＝CD2﹣DE2，BE2＝OB2﹣OE2，
∴CD2﹣DE2＝OB2﹣OE2，
∵CD＝x，OB＝OD＝2，
∴x2﹣DE2＝22﹣（2﹣DE）2，
∴DE=14x2，
∴OE＝2−14x2，
∵OA＝OB，CE＝BE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC＝2OE，
∵AC＝y，
∴y＝4−12x2，
故答案为：y＝4−12x2．
11．（2022•雨花台区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为 252 ．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM=12AC＝AM＝5，
∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，
由三角形的外角性质得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，
∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，
四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，
∴S△BMD=12BM•DM=12×5×5=252．
故答案为：252．
12．（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是 3+1 ．
【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，连结EC，
∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠EAB＝∠AEB＝60°，
∵BC＝BD，∠DCB＝60°，
∴△DCB为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD，∠DCB＝∠CDB＝∠DCB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
在△ABD和△EBC中，
AB=EB∠ABD=∠EBC=60°−∠DBEBD=BC，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠ADB＝∠ECB＝90°，
在△EBC中，EB＝AB＝2，∠ECB＝90°，
以BE为直径作⊙O，则半径为12BE＝1，
∴动点C在以BE为直径的⊙O上，连结AO并延长交⊙O于点C′，
∴AC≤AC′＝AO+OC′＝AO+1，
在等边△ABE中，AB＝2，O为BE的中点，
∴AO=AB2−BO2=22−12=3，
∴AC′=3+1，
即AC的最大值为3+1，
故答案为：3+1．
13．（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为 21 ．
【解答】解：如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，
设AB＝2x，则AC＝2x，
∵AB的垂直平分线MN交BC边于点N，
∴AN＝BN＝6，BM＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴cs∠B＝cs∠C，
∴BMBN=CECN，即x6=CE4，
∴CE=23x，
∴AE＝2x−23x=43x，
由勾股定理得：EN2＝AN2﹣AE2＝CN2﹣CE2，
∴62﹣（43x）2＝42﹣（23x）2，
解得：x=±15（负值舍去），
∴MN=BN2−BM2=62−(15)2=21，
故答案为：21．
14．（2021•鼓楼区二模）将一副三角板如图摆放，则∠1＝ 105 °．
【解答】解：如图所示：
∵∠D＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠AOD﹣∠B＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠1＝∠BOC+∠C＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE=12AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
16．（2021•建邺区一模）如图，在△ABC中，AB＝82，BC＝10，DE是AC的垂直平分线，分别交AC、AB于点D、E，O是线段DE上一点，若OB＝OC，OB⊥OC，则DE＝ 7 ．
【解答】解：连接EC，OA．
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，OA＝OC，
∵OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC的外心，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BAC=12∠BOC＝45°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴DE＝DC＝AD，∠AEC＝90°，
设DE＝AD＝DC＝x，则AE＝EC=2x，
∵BE2+EC2＝BC2，
∴（82−2x）2+（2x）2＝102，
整理得，x2﹣8x+7＝0
∴x＝1（舍弃）或7，
∴DE＝7．
故答案为：7．
17．（2021•南京模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是斜边AB的中垂线，交AC于点E，△EBC的周长为14，则AB＝ 10 ．
【解答】解：∵DE是斜边AB的中垂线，
∴EA＝EB，
∵△EBC的周长为14，
∴BC+CE+EB＝14，
即：BC+AC＝14，
∵BC＝6，
∴AC＝14﹣6＝8，
∴AB=BC2+AC2=62+82=10，
故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
18．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C；
（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB＝∠EFB＝90°．
∴AH∥EF．
∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．
∴∠E＝∠AME．
∴AM＝AE＝2．
∵AB＝AC＝5，
∴CM＝AC﹣CM＝3．
∵AH∥EF，
∴△CMF∽△CAH．
∴MFAH=CMCA．
∴MF3=35．
∴MF=95．
19．（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．
（1）求证AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵BC＝BD，AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD；
（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，
∵△ACB≌△ACD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴BC=CE，
∴BC＝CE，
∵BC＝CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠D＝∠CED，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠CED＝∠ACD，
∴△DEC∽△DCA，
∴DEDC=DCDA，
∴DE6=65+DE，
∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），
∴AD＝AE+DE＝9，
∴AB＝AC＝AD＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴AF⊥BC，BF＝CF=12BC＝3，
∴AF=AC2−CF2=92−32=62，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，
∴（62−r）2+32＝r2，
∴r=2782，
∴⊙O的半径为2782．
20．（2022•鼓楼区二模）藏宝地之谜．
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出如图．
（1）以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设点B的坐标为（10，0）．
①若P的坐标为（6，10），则Q的坐标为 （0，﹣10） ；
②若P的坐标为（﹣4，8），则Q的坐标为 （0，﹣10） ；
…
（2）猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
（3）写出证明（2）中猜想的思路．
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为 再走12这么多步 ，可使（2）中的猜想仍然成立．
【解答】解：（1）①如图1，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠PAC＝∠PAE+∠CAO＝90°，∠PAE＝∠APE＝90°，
∴∠APE＝∠CAO，
∵AP＝AC，∠AEP＝∠AOC＝90°，
∴△AEP≌△COA（AAS），
∴CO＝AE＝10+6＝16，
同理得△PEB≌△BOD（AAS），
∴OD＝BE＝10﹣6＝4，
∴CD＝16﹣4＝12，
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，10）；
故答案为：（0，﹣10）；
②如图2，过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝10﹣4＝6，AG＝PF＝8，DE＝BF＝10+4＝14，BE＝PF＝8，
∴C（﹣2，﹣6），D（2，﹣14），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣10）；
故答案为：（0，﹣10）；
（2）猜想：当P在不同位置时，Q的位置不变；
（3）如图3，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP≌△CGA，△BFP≌△DEB，
∴CG＝AF＝x+m，AG＝PF＝y，DE＝BF＝m﹣x，BE＝PF＝y，
∴C（y﹣m，﹣x﹣m），D（m﹣y，x﹣m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，﹣m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
（4）将材料中两处“再走这么多步”同时改为再走12这么多步，可使（2）中的猜想仍然成立．理由如下：
如图4，以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设点B的坐标为（m，0），A（﹣m，0），P（x，y），
过点P作PF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥AB于E，
同①得△AFP∽△CGA，△BFP∽△DEB，相似比为2，
∴CG=12AF=12x+12m，AG=12PF=12y，DE=12BF=12m−12x，BE=12PF=12y，
∴C（12y﹣m，−12x−12m），D（m−12y，12x−12m），
∵Q是CD的中点，
∴Q（0，−12m）；
∴当P在不同位置时，Q的位置不变；
故答案为：再走12这么多步．
21．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
【解答】解：（1）如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，
根据旋转的性质可知，AO＝AP，∠OAP＝60°，CP＝OB＝4，
∴△AOP为等边三角形，
∴OP＝OA＝3，∠APO＝60°，
∵OP2+PC2＝32+42＝52＝OC2，
∴△OPC为直角三角形，
∴∠OPC＝90°，
∴∠APC＝∠APO+∠OPC＝60°+90°＝150°，
∴∠AOB＝∠APC＝150°；
（2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则△ABC为所求三角形，如图所示，
（3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交⊙A于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．
22．（2022•建邺区二模）如图，已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长．
【解答】解：AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y，
根据题意得x+2x=12y+x=21或x+2x=21y+x=12，
解得x=4y=17或x=7y=5，
当x＝4，y＝17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；
当x＝7，y＝5时，等腰三角形的三边为14，14，5，
答：这个等腰三角形的底边BC长是5．
23．（2022•建邺区二模）如图，点D在线段AB上，AB＝BC＝CD，AE∥CD．BE与CD相交于点F，∠ABE＝∠BCD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠BCD＝20°，求∠ADE的度数．
【解答】解；：（1）∵点D在AB上，BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠BDC，
∴∠BAE＝∠DBC，
又∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCD，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BE＝CD；
（2）如图，连接EC，
由（1）可得BE＝CD，
∵AB＝BC＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝BE，
∵∠BCD＝20°，∠ABE＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠BDC＝80°，
∴∠EBC＝∠DBC﹣∠ABE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝EC，∠BCE＝60°，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝40°，
∴∠CDE＝∠DEC＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝30°．
24．（2021•玄武区二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，DE∥BC．求证：DM＝EN．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠D＝∠E，
∵DE∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠C＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
在△ADN和△AEM中，
∠D=∠E∠ANM=∠AMNAD=AE，
∴△ADN≌△AEM（AAS），
∴DN＝EM，
∴DM＝NE．
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P，从木桩P走到橡树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？