09数列不等式能成立（有解）问题-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用）

这是一份09数列不等式能成立（有解）问题-【数列专题】2024届高考数学重要模型专练（全国通用），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
3．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
4．已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n的最小正整数解为（ ）
A．15B．16C．3D．4
5．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ）
A．21B．38C．43D．44
7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．数列满足，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．恒成立
D．存在正数，使得恒成立
11．设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则使的最大正整数的值为15
B．若（为常数），则必有
C．必为等差数列
D．必为等比数列
12．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②，；③，，，定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为“s数列”
B．若，则为“t数列”
C．若为“s数列”，则为“t数列”
D．若等比数列为“t数列”，则为“s数列”
三、填空题
13．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为 ．
14．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ．
15．已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为
16．已知数列的前项和为，且满足.有以下结论：
①数列是等差数列；②；③.
其中所有正确命题的序号是 .
17．已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 ．
18．已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为 ．
19．数列满足，，实数为常数，①数列有可能为常数列；②时，数列为等差数列；③若，则；④时，数列递减；则以上判断正确的有 （填写序号即可）
20．设数列的前项和为，且.若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
21．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
22．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
参考答案：
1．C
【分析】由题设及累加可得，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.
【详解】由题意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故选：C．
2．D
【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.
【详解】当时，，
所以，
易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，
又当为正偶数时，存在，即，
所以，此时有，所以，
又对于任意的正奇数，，即，
所以或恒成立，所以或，
综上，实数的取值范围是，
故选：D．
3．C
【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解.
【详解】解：因为，所以公比，则，
时，，时，，
又，所以，，，，
则，
又当时，，
所以能使不等式成立的最大正整数是．
故选：C．
4．A
【分析】由递推关系求得、，根据关系可得，由等差数列定义求出通项，最后应用对数的运算性质可得，进而求对应n的范围，即可得答案.
【详解】由题设且，当时，，则，
当时，，则，可得，
所以，
当时，，则，
由上，也成立，故是首项、公差均为1的等差数列，则，即，
又，
所以，即，故的n的最小正整数解为.
故选：A
5．C
【分析】根据之间的关系证明为等比数列，然后再证明也是等比数列，由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定出的最小整数值.
【详解】解析：由，可知，
∴，即.
时，，∴，∴，∴，
∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.
∴.又，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.
∴.
又，∴，即，
∴.又，∴的最小值为7.
故选：C.
6．C
【分析】由数列的通项公式列出数列，同时得出前项和公式，将选项由小至大代入不等关系中，选出符合条件的最小值即可.
【详解】由题，，则数列为，……
，则数列为，……
设数列的前项和为，数列的前项和为，
则，，
当时，，，则，不符合条件；
当时，，则， 不符合条件；
以此类推，因为，则前21项中，有的前16项，的前5项，且,
当时，，不符合条件，故排除A；
因为，则前38项中，有的前32项，的前6项，且,
当时，，不符合条件，故排除B；
因为，则前43项中，有的前37项，的前6项，且，
当时，，符合条件，
故选：C
【点睛】关键点点睛：将两个数列合并排序时，不妨考虑直接列举观察规律，结合选项，得到结果.
7．B
【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对进行赋值即可求解.
【详解】解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列
所以
因为是以1为首项，2为公比的等比数列
所以
由得：
当时，即
当时，
当时，
所以n的最大值是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.
8．B
【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，然后分析数列的单调性，可得结果.
【详解】因为，等式两边同时乘以可得，
所以，且，
所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，
因为.
当时，；
当时，，即数列从第二项开始单调递减，
因为，，故当时，；当时，.
所以，，则的最小值为.
故选：B.
9．D
【分析】ABC选项，可以通过令，从而得到矛盾，对于D，可通过特例判断其有可能成立.
【详解】对于A，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于C，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于B，可取，则，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
时，也符合该式，从而.
此时
，
故成立，
若成立，取，则，
但此时，，不成立，故B错误.
对于D，
可令，则，
当且仅当时等号成立，满足题干条件，
此时，，故D选项可能成立
故选： D
【点睛】对于数列相关的不等问题，要结合题干条件进行适当变形，利用基本不等式或导函数进行求解.
10．BC
【分析】推导出，利用累加法求出数列的通项公式，可判断AC选项正误，利用分组求和法可判断B选项的正误，利用数列的单调性可判断D选项的正误.
【详解】由题意可得，，，
以此类推可得，则，
所以，
，所以，数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，恒成立，C选项正确；
对于D选项，恒成立，则数列单调递增，
所以，数列无最大值，因此，不存在正数，使得，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
11．BCD
【分析】A由已知可得，且，再应用等差数列前n项和公式及得，即可判断；B由等比数列前n项和公式有，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.
【详解】令的公差为，则，
所以，故，且，
使，则，
而，即，故，
所以使的最大正整数的值为30，A错；
令的公比为且，则（公比不能为1），
所以，即，B对；
根据等差、等比数列片段和的性质知：必为等差数列，必为等比数列，C、D对.
故选：BCD
12．ABD
【分析】根据“s数列”和“t数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.
【详解】对于A，，
，又，
数列为“s数列”，故A正确.
对于B，，，又，
，又，
数列为“t数列”， 故B正确.
对于C，若，，
又，所以数列为“s数列”，但，故C错误.
对于D，若等比数列为“t数列”，则，，
即（公比为）.
（1）若公比，因为，所以，所以，所以，
此时
因为，，，所以，
即，所以为“s数列”；
（2）若公比， 由得，由性质③知 ，，即，
所以，但此时与性质③不符，所以时不是“t数列”.
综上，若等比数列为“t数列”，则为“s数列”，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：
本题解题的关键是牢牢抓住数列为“s数列”和数列为“t数列”所满足的性质对各选项逐一进行验证.
13．
【分析】分别求出，进而可得，可得是等比数列，再利用等边数列求和公式求，利用单调性解不等式即可得答案.
【详解】是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
是个边长为的小正方形面积之和，所以；
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以即，
所以，
因为在上单调递减，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次数的最小值为次，
故答案为：.
14． 14 13
【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解.
【详解】令，得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
当为奇数时，，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为；
当为偶数时，，
因为，所以，，
因为为偶数，所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键.
15．
【分析】先累加求得，再分析二次不等式有解可得或，再分析的最小值即可
【详解】由题，，累加可得，故，显然，故要存在正整数n，使成立，即，即或，故存在正整数n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，当为奇数时，；当为偶数时，，当且仅当时取得等号，综上有，故或.
故答案为：
16．①②③
【分析】由条件求得，可判断①，由①得，可判断②；由判断③，可得答案．
【详解】对于①，由条件知，当时，，所以对任意正整数，有，
又时，求得，所以是等差数列，故①正确；
对于②，由①可得，，所以或，
所以，当时，成立；
当时，，故②正确；
对于③仅需考虑，同号的情况即可，可设，均为正，（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），
由②得，，
此时，，
从而
，故③正确；
综上，正确的序号①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查数列递推式，不等式的证明，属于难度题．
17．
【详解】根据题意可得，，
又；
易知，数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式成立即存在正整数使得成立，
只需要，即即可.
故．
故答案为：.
18．15
【分析】利用等差数列的前项和公式可得的解析式，结合基本不等式求解实数的最小值即可.
【详解】解：由题意得，
即，当且仅当时取等号，
因为，又 ，
所以实数的最小值为.
故答案为：15.
19．①②③④
【分析】对选项逐一验证，①数列为常数列时，，可解出；②时，取倒数可以证明；③，表示出，解出的范围可得；④时，表示出，则且单调递增，所以递减.
【详解】对于①：时，，又因为，所以数列为常数列，①正确．
对于②：时，两边取倒数，得，所以，数列为等差数列，所以②正确.
对于③：令，，再令，，，即，解得，，所以③正确．
对于④，令，，归纳猜想，于是，所以④正确．
综上，①②③④都正确．
故答案为：①②③④.
【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差数列的证明和单调性的判断，同时涉及不等式求解，考查学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.
20．
【分析】首先根据关系式转化为，并求得数列的通项公式，不等式转化为，判断数列的单调性，求得最大值，以及的取值范围.
【详解】由①，可得②.由②-①可得，即，由可得，，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，设，则，当 ，即时，递增，当，即时，递减，故的最大值为.
若存在正整数，使得不等式成立，则
故，故实数的取值范围.
故答案为：
【点睛】本题考查数列与函数的综合应用、数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据与的关系求数列的通项公式.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
22．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．