微专题14　折叠与探索问题

这是一份微专题14　折叠与探索问题，共3页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.(2023·淮北模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，∠ABC＝60°，PB⊥AC.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由.
2.(2023·榆林二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，BD⊥PC，∠ABC＝60°，四边形ABCD是菱形，PB＝eq \r(2)AB＝eq \r(2)PA，E是棱PD上的动点，且eq \(PE,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→)).
(1)证明：PA⊥平面ABCD.
(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是eq \f(2\r(19),19)？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
3.如图1，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点， 将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上，如图2所示.
(1)求证：EF⊥AD.
(2)若二面角A－EF－D的平面角为45°，K是线段CF上(含端点)一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为eq \f(1,3).若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由.
二、创新拓展练
4.(2023·杭州调研)在长方形ABCD中，AD＝2AB＝2eq \r(2)，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求证：在四棱锥A－BCDE中，AB⊥AC；
(2)若在线段AC上存在点F，使平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值为eq \f(\r(10),10)，求eq \f(AF,AC)的值；
(3)在(2)的条件下，求点C到平面BEF的距离.