2023-2024学年福建省莆田第五中学高二上学年12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田第五中学高二上学年12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先计算复数 ,再求出共轭复数，最后根据复数的几何意义确定所在象限即可.
【详解】,
,对应点的坐标为在第一象限.
故选：A.
2．在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】首先确定B关于y轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求.
【分析】由题设，故.
故选：C
3．若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，为抛物线上的任意一点，结合题设条件利用抛物线的定义和性质可得出从而求解.
【详解】设点，为抛物线上的任意一点，由题意可得：，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
4．已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】易得点在圆上，故切线只有一条，且与直线垂直，根据的值，可求出切线的斜率，继而求得倾斜角.
【详解】因为在圆O上，则切线只有一条，
圆心为，所以，
所以过M的切线l的斜率为，
设切线的倾斜角为，则，
由于，故，
即，
故选：D．
5．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得.
【详解】当时，，此时，不满足题意；
当时，解方程组得，
由题知，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：A
6．已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解.
【详解】由题知，，所以，
所以，椭圆的方程为，
由题知直线的斜率不为，设，，则，
代入椭圆方程得，作差得，
即，得，
所以直线的斜率，故直线的方程为，即，
联立，化简得，解得或，
所以，，所以弦长，故C正确.
故选：C.
7．在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用几何知识及余弦定理求解.
【详解】由题意知：正四棱台侧面为等腰梯形，连接：，，，，，，作，如下图所示，
因为棱台侧面积为，即：，得：，
所以：侧棱长，
因为：，得：，
又因为：，所以：四边形是平行四边形，
所以：，（或其补角）是异面直线与所成的角，
根据余弦定理可知：，故A项正确.
故选：A.
8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.
【详解】
设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，
则，
由及双曲线的定义可知，，
故四边形是正方形，
得，于是，
故，所以，
于是，在中，
由余弦定理可得，
从而，所以.
故选：D.
二、多选题
9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】按双曲线和椭圆的标准方程逐项判断即可
【详解】A：，时，若即，则是圆，故错误
B：时，且，，故是双曲线；时，且，是双曲线，故正确
C：若曲线是焦点在轴上的双曲线，则且，解得，故正确
D：，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故错误
故选：BC
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】ABD
【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.
【详解】A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即，故，对.
故选：ABD
11．已知，则（ ）
A．与均有公共点的直线斜率最大为
B．与均有公共点的圆的半径最大为4
C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
【答案】AD
【分析】根据相似比即可结合锐角三角函数求解A，根据圆的性质即可判断B，根据距离公式即可求解轨迹方程，进而可判断CD.
【详解】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线，
由两圆半径之比为，，可知切线与轴交于，
设切线的倾斜角为，选项正确.
与均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误.
向引切线，设切线长相等的点为,则，
所以，化简得直线，选项错误.
设的圆心分别为，点对切线的夹角等于点对切线的夹角，
于是由相似三角形知，
设，则，
可得到点的轨迹是一个圆，选项D正确.
故选：AD
12．神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船，神州十七号也于2023年10月26日成功发射，神舟飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G，若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的长轴长为B．线段长度的取值范围是
C．的周长为D．面积的最小值是4
【答案】BC
【分析】根据圆过椭圆的焦点和短轴与半圆的直径重合可得b，c，然后可得a，即可判断A；根据椭圆性质可知，然后可得范围，可判断B；利用椭圆定义可求的周长，可判断C；由，可得，根据椭圆和圆的性质，结合图形可得面积的最大值，可判断D.
【详解】因为半圆所在的圆过椭圆的焦点，
所以椭圆半焦距，圆的半径，
又椭圆的短轴与半圆的直径重合，所以椭圆短半轴，
所以，椭圆的长轴长，A错误；
因为，，所以，B正确；
由题知，为椭圆的下焦点，所以，
又，所以的周长为，C正确；
设，则，
由图可知，当直线l与x轴重合时，有最大值4，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．双曲线与椭圆有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】求出椭圆的焦点后利用双曲线中从而求出双曲线的方程，从而求解.
【详解】由椭圆可得，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，所以，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
14．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，则 ；
【答案】8
【分析】先求出直线AB的方程，用“设而不求法”求出，利用抛物线弦长公式求出弦长.
【详解】抛物线的焦点.
∵直线过焦点且倾斜角为，∴可求直线.
联立方程组，消去y，得：，
则有：，
∴.
故答案为：8.
【点睛】求圆锥曲线的弦长：
（1） “设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法；
（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：
15．已知点、，动点满足直线、的斜率之积为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据条件分析出点的轨迹，然后利用三角换元法求解出的最大值.
【详解】因为，所以，
所以点的轨迹为椭圆去掉左右顶点，
不妨设，
所以，
其中，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，
故答案为：.
16．内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为 ．
【答案】/
【分析】等腰梯形中，构造直角三角形利用勾股定理解得外接圆半径，再通过构造直角三角形利用勾股定理求四棱锥外接球半径.
【详解】是等腰梯形，，，，，
作于点，可得，，
设四边形的外接圆半径大小为，圆心到的距离为，
分别为和的中点，则，，，，
和中，，由勾股定理，
，解得，，
四条侧棱均相等，底面，侧棱与底面所成角的大小为，
则点到平面的距离为．
设球的半径为，中，，解得，
所以球的表面积为．
故答案为：.
四、解答题
17．（1）已知直线l的方向向量与直线的方向向量共线且过点，求直线l的方程；
（2）求经过点，且圆心在y轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设出直线的方程，代入点的坐标，由此可求出的方程；
（2）根据条件设出圆的标准方程，然后代入求解出参数值，由此圆的标准方程可知.
【详解】（1）因为不经过点，所以与平行，
设直线的方程为，代入，
所以，所以，
所以直线的方程为；
（2）由条件可设圆的标准方程为，
代入坐标可得，解得，
所以圆的标准方程为.
18．在中，为上一点，，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）由题设求得，再应用余弦定理求；
（2）由正弦定理可得，再由，即可得结果.
【详解】（1）在Rt中，．
在中，，解得．

（2）在中，，所以．
在中，，所以．
故．
19．如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若．
(1)求的长；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，表示出的坐标，根据空间中两点间的距离公式求解出结果；
（2）利用向量法求解出到平面的距离，然后计算出，再根据三棱锥的体积公式求解出结果.
【详解】（1）因为底面是菱形，所以，
以为原点，方向为轴正方向，过平行于方向为轴正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以为等边三角形，所以，
所以，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，令，所以，
所以到平面的距离为，
又因为几何体为直四棱柱，所以平面，
所以，
所以，，
所以，所以，所以，
所以.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解；
（2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解.
【详解】（1）设点，由题意得：
，
化简得：
所以点M的轨迹方程是；
（2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，，
联立，消去整理得，
则，，解得，
，
直线的方程为，
令，得，
，
，
所以直线过定点
21．如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点.
(1)证明：；
(2)若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出平面，可得出，利用中位线的性质可得出，即证得结论成立；
（2）分析可知，二面角的平面角为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：翻折前，，则，，
翻折后，则有，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在四棱锥中，因为点、分别为棱、的中点，则，
因此，.
（2）解：因为，，则二面角的平面角为，即，
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，则，
又因为，则、、、、
、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
22．已知椭圆C：的离心率为，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意列式即可求解；
（2）先讨论直线PQ的斜率为0的情况，斜率不为0时，联立直线方程和椭圆方程，用韦达定理结合已知条件证明直线PQ恒过x轴上一定点，再表示出即可求解.
【详解】（1）由题意知
解得所以椭圆C的方程为．
（2）依题意，，，设，．
若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，即，不合题意．
所以直线PQ的斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C的方程联立
得，
所以，且
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，即．
因为
，
所以，此时，
故直线PQ恒过x轴上一定点．
因此，，
所以
，
则，当即时，取得最大值．