河南省开封市龙亭区金华学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省开封市龙亭区金华学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠﹣1且m≠0
2．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
3．（3分）将抛物线y＝2x2先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2﹣3
C．y＝2（x+1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+3
4．（3分）不解方程判断下列方程中无实数根的是（ ）
A．﹣x2＝2x﹣1 B． C． D．（x+2）（x﹣3）＝﹣5
5．（3分）若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0
C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝0
6．（3分）如图，点A（2.18，﹣0.5），B（2.68，0.54）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+0＝0解的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
7．（3分）关于x的二次函数y＝2（x﹣3）2与y＝﹣2（x﹣3）2的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．开口大小相同 D．当x＜3时，y＝2（x﹣3）2随x的增大而减小，y＝﹣2（x﹣3）2随x的增大而增大
8．（3分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
9．（3分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，那么x应满足的方程是（ ）
A． B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2
C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2 D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2
10．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题。
11．（3分）一元二次方程2x2＝x+4化成一般形式后的常数项是_______________．
12．（3分）如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线_______________．
13．（3分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的面积为_______________．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则x＜﹣2时，y的取值范围是_______________．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，下列结论中：①4a﹣b＝0；②c≤3a2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac，正确的有_______________．
三、解答题。（本大题8小题）
16．解方程：（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0．
17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，直接写出点A、B、C的坐标，并求出抛物线的解析式为_______________；
（2）该抛物线的顶点坐标为_______________；
（3）观察图象知，当y＞0时，x的取值范围是_______________．
18．已知：矩形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为正方形？并说明理由；
（2）若AB的长为2，则矩形ABCD的对角线长为 ．
19．已知关于x的抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将该抛物线进行平移使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．
20．春秋旅行社为吸引市民组团去某景点旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用1000元，每增加1人，人均旅游费用将降低20元，某单位组织员工去该景区旅游，共支付给春秋旅游社费用27000元
21．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA（如图），喷水能力最强，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）（m）之间满足二次函数关系式．
（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时，最高处离喷水装置OA的水平距离为多少米？
（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处
22．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2）（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．
2023-2024学年河南省开封市龙亭区金华学校九年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里）
1．（3分）
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【解答】解：∵（m+1）x2﹣mx+6＝0是一元二次方程，
∴m+1≠2，
∴m≠﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足4个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2；
④二次项的系数不等于0．
2．（3分）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+2，根据顶点式的坐标特点可知，2），
故选：B．
【点评】考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．（3分）
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向上平移7个单位长度，再向右平移1个单位长度2+2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
4．（3分）
【分析】整理每个方程后，应用Δ与0的大小关系判断根的情况．
【解答】解：A、﹣x2﹣2x+8＝0，Δ＝4+5＝8＞0．
B、Δ＝16﹣20＝﹣5＜0．
C、，方程有两个不相等的实数根．
D、x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+4＝5＞0．
故选：B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．（3分）
【分析】解此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵（x+5）（x﹣7）＝2
∴x+5＝0或x﹣2＝0
∴x1＝﹣3，x2＝7
故选：A．
【点评】在解选择题是要注意方法的选择，有直接求解法，排除法等，在解题时要注意解题技巧与方法的积累．
6．（3分）
【分析】根据函数和方程的关系，结合图象求解．
【解答】解：由图象得：x2+bx+c＝0的解介于8.18和2.68之间，
故选：D．
【点评】本题考查了由图象求一元二次方程的解，理解函数和方程的关系是解题的关键．
7．（3分）
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）4的开口向上，对称轴是直线x＝3，0），y随x的增大而减小；
二次函数y＝﹣5（x﹣3）2的开口向下，对称轴是直线x＝8，0），y随x的增大而增大；
故选项A符合题意，选项B、C．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（3分）
【分析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．
【解答】解：根据题意，
解得c＝8或14．
故选：C．
【点评】本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单．
9．（3分）
【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．
【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，
∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，
∴商品现在的价格为：100（3+x）2，
∴100（1+40%）（3+10%）＝100（1+x）2，
整理得：（3+40%）（1+10%）＝（1+x）5，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，b＜0，则ac＞0，ac＞6，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，b＞0，则ac＞0，ac＞6，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，b＞0，则ac＜0，ac＜6，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，b＜0，则ac＜0，ac＞4，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
二、填空题。
11．（3分）
【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）对应作答即可．
【解答】解：将方程2x2＝x+7化为一般形式：
2x2﹣x﹣4＝0，
其中常数项为﹣4．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的题目，熟练掌握一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）是解题关键．
12．（3分）
【分析】由抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（3，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
13．（3分）
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝4，再根据菱形的性质可判断CD＝6，则利用勾股定理可计算出菱形的另一条对角线长为，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：x2﹣10x+24＝0，
（x﹣5）（x﹣4）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4＝5，
所以x1＝6，x4＝4，
∵菱形ABCD的一条对角线长为8，
而菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为7，
∴菱形的另一条对角线长为，
∴菱形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
14．（3分）
【分析】根据图表知二次函数的顶点坐标是（﹣1，﹣6），可将二次函数的解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质填空．
【解答】解：由图表知，二次函数的顶点坐标是（﹣1，
在对称轴x＝﹣1的左侧，y随x的增大而减小，y＞﹣5，
故答案为：y＞﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象的单调性．本题侧重于二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
15．（3分）
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x＝﹣1时y＞0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴3a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，7）和（﹣4，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，3）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＝a﹣6a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞5a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax8+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，7），
，
∴b2+12a＝6ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝5a，
∴b2+3b＝3ac，
∵a＜0，
∴b＝4a＜3，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题。（本大题8小题）
16．
【分析】把方程左边提取公因式（x﹣1）后，变为两因式相乘的形式，根据两数相乘为0，这两数中至少有一个为0，即可化为两个一元一次方程，求出原方程的两根．
【解答】解：（x﹣1）2+3x（x﹣1）＝0
提取公因式（x﹣3）得：（x﹣1）[（x﹣1）+6x]＝0，
化简得：（x﹣1）（4x﹣1）＝0，
即x﹣5＝0或3x﹣7＝0，
解得：．
【点评】此题主要考查了运用分解因式法解一元二次方程，其步骤是：利用移项的方法将方程右边化为0，然后将方程左边分解为两个一次因式的乘积，最后令每一个因式分别为0得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解即为原方程的解．
17．【分析】（1）将A、B、C三点分别代入一般式y＝ax2+bx+c，然后解方程组即可解决；
（2）利用配方法解决问题即可；
（3）观察图象，看函数的图象与x的交点，然后确定x取何值时，y＞0．
【解答】解：（1）因为y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，7），5），﹣3）三点，
解得：a＝1，b＝﹣2，
因此，这个二次函数的解析式是y＝x4﹣2x﹣3．
故答案为：y＝x5﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x8﹣2x﹣3（x﹣6）2﹣4，
∴顶点坐标（2，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
（3）观察图象可知，当x＜﹣1或x＞3时．
故答案为：x＜﹣2或x＞3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象的知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．【分析】（1）利用正方形的判定方法得到AB＝AD时，矩形ABCD为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可；
（2）设AD＝t，利用根与系数的关系得，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形ABCD的对角线长．
【解答】解：（1）当m为1时，四边形ABCD为正方形．
理由如下：
当AB＝AD时，矩形ABCD为正方形，
此时Δ＝0，即，
解得m2＝m2＝1，
即m＝7时，四边形ABCD为正方形；
（2）设AD＝t，
根据根与系数的关系得，
即2+t＝m①，②，
①+②得，
解得，
即，
∴矩形ABCD的对角线长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则．也考查了矩形的性质．
19．【分析】（1）把点（1，0），（0，）代入抛物线求出b、c的值，进而可得出其解析式；
（2）把（1）中的抛物线化为顶点式的形式，再由函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），），
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵由（1）知，
∴其顶点坐标为（﹣3，2），
∴将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度后；
∴平移后的函数解析式为．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
20．【分析】设该单位这次共有x名员工去旅游，由1000×25＝25000（元），25000＜27000，可得出x超过25人，则人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）＝（1500﹣20x）元，利用总费用＝人均费用×旅游人数，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合人均旅游费用不得低于700元，即可确定结论．
【解答】解：设该单位这次共有x名员工去旅游，则人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）＝（1500﹣20x）元，
根据题意得：（1500﹣20x）x＝27000，
整理得：x2﹣75x+1350＝0，
解得：x5＝30，x2＝45，
当x＝30时，1500﹣20x＝1500﹣20×30＝900＞700；
当x＝45时，1500﹣20x＝1500﹣20×45＝600＜700，舍去．
答：该单位这次共有30名员工去旅游．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】（1）将化为顶点式，顶点坐标，故最大高度为4m，最高处离喷水装置OA的水平距离为米；
（2）由，求出y＝0时x的值即可．
【解答】解：（1）由化为顶点式可得：，
∴顶点为：，
∵a＝﹣5＜0，
∴开口向下，
故最大高度为4m，且最高处离喷水装置OA的水平距离为米；
（2）由（1）知该函数顶点式为：，
∴若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，
∴只需求y＝5时即可，
，
解得：x＝8.5或x＝﹣0.3（舍），
∴x＝3.5，
∴花盆需至少离喷水装置OA5.5米处．
【点评】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键．
22．【分析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解；
（2）利用利润＝销售量×（售价﹣成本）即可表示出w；
（3）根据（2）中解析式求出当x为何值，二次函数取最大值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由表可知：当x＝15时，y＝150，y＝140，
则，解得：，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣10x+300；
（2）由题意可得：
w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+410x﹣3300；
（3）∵对称轴，x是整数，
∴x＝20或21时，w有最大值，
当x＝20或21时，代入，
∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
【点评】本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．
23．【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，确定出点P'（n﹣2，2+m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（6，2），
∴2＝a（5+6）（0﹣2），
，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣8；
针对于抛物线的解析式为，
令y＝0，则，
∴x＝2或x＝﹣3，
∴A（﹣6，0）；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝4，
，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM2＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
，
，
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或或；
（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为，
，
令y＝0，则（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2或x＝2，
∴点A（﹣6，2），
∴直线AD的解析式为，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'（n﹣2，8+m），
∵点P'在直线AD上，
①，
∵点P在抛物线上，
②，
联立①②解得，，
即点P的横坐标为或．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
3
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
每件售价x（元）
…
15
16
17
18
…
每天销售量y（件）
…
150
140
130
120
…