2023-2024学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由题意得，所以.
故选：B
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解.
【详解】依题意，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B．
3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.
【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，，定义域不同，故不为同一函数．
故选：C．
4．已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由得不到，如，故充分性不成立，
反之，由可以得到，故必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选:C.
5．设函数则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式进行迭代可得，然后可得答案.
【详解】由解析式可得，
所以．
故选：B．
6．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查函数零点存在性定理，满足，即零点在区间.
【详解】,
所以在单调递增，
因为

所以由零点存在性质定理知，的零点在.
故选：B
7．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.
【详解】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，
所以，即，
故选:D．
8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
二、多选题
9．已知定义在上的函数的图像如图所示.下述四个结论: （ ）
A．函数的值域为
B．函数的单调递减区间为
C．函数仅有两个零点
D．存在实数满足
【答案】BD
【分析】直接根据图像，结合函数的值域、递减区间、零点与特殊点即可.
【详解】对A，由图，的最大值大于2，最小值小于2，故值域不为，故错误；
对B，函数的单调递减区间为，故正确；
对C，函数有三个零点，故错误；
对D，成立，故正确；
故选：BD
10．已知集合，，若，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】CD
【分析】由题意，在数轴表示出符合题意的集合即可.
【详解】如下图所示：

若要，首先有，
当时满足题意，事实上此时有，
其中表示两者中较小的数；
其次我们考虑极端情况，当，有，但这与已知矛盾;
综上所述：.因此实数a的取值可以是0，1.
故选：CD.
11．下列说法不正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．已知命题：对，则为
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，解出不等式的解集即可判断；对于B，根据全称命题的否定为特称命题，即可判断；对于C，令，根据对勾函数的性质即可判断；对于D，解出使不等式恒成立时的取值范围，即可判断.
【详解】解：对于A，不等式的解集为或，故错误；
对于B，命题：对，则为，故正确；
对于C，令，则原函数即为，由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，所以函数的最小值为，当时，取最小值，故错误；
对于D，因为不等式恒成立，
所以当时，满足题意；
当时，则有，解得，
综上，的取值范围是，故错误.
故选：ACD.
12．已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为9
C．的最小值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，，运用均值不等式即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，，讨论最值即可.
【详解】，，当时，即时，可取等号，A错；
，当时，即时，可取等号，B对；
，当时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
三、填空题
13．已知集合，则集合的非空真子集的个数为 .
【答案】
【分析】求出集合，列举出集合的非空真子集，可得出结果.
【详解】因为，
所以，集合的非空真子集有：、，共个.
故答案为：.
14．已知是奇函数，当时，，则的值为 ．
【答案】/1.5
【分析】根据奇函数的定义求值.
【详解】由题意.
故答案为：．
15．若函数的定义域为，则函数的定义域 ．
【答案】
【分析】由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，即可求解.
【详解】由题意函数的定义域为，
则对于函数中，令，
解得，
即函数的定义域为，
故答案为：.
16．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为
【答案】
【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.
【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，
所以，，所以，
解得或，
又因为，得，所以.
故答案为：3
四、解答题
17．求下列方程组及不等式组的解集.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入消元法求解即可；
（2）分别解出两个不等式，然后取交集.
【详解】（1），
从而解得或，
故解集为.
（2）不等式 等价于，解得，
不等式等价于，解得，
所以不等式组 的解集为.
18．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)当时，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用集合的交运算求即可.
（2）根据已知，由集合的交集结果可得，即可求m的取值范围．
【详解】（1）由题设，，而，
∴.
（2）由，显然，
∴，可得.
19．已知二次函数，且，3是函数的零点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理求解即可；
（2）解一元二次不等式即得解.
【详解】（1）因为是函数的零点，
即或是方程的两个实根，
所以，从而，
，即，
所以．
（2）由（1）得，
从而，即，
即，所以，
所以不等式的解集为.
20．已知一次函数满足，.
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数，求函数值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由待定系数法，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由二次函数的值域，即可得到结果.
【详解】（1）设
由条件得：，解得，
故.
（2）由（1）知，
即，
所以值域为.
五、证明题
21．已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析
(2)函数为奇函数，在区间上的值域为
【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.
【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
（2）的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.
六、解答题
22．已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【答案】(1)3或-2
(2)
【分析】（1）结合分段函数解析式列方程，由此求得的值.
（2）首先判断的取值范围，然后解一元二次不等式求得的取值集合.
【详解】（1）当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得.
∴m的值为3或-2.
（2）对任意实数，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.