2023-2024学年重庆市田家炳中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市田家炳中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.
【详解】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.
故选：A
【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.
2．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A．f（0.5）B．f（1.125）
C．f（1.25）D．f（1.75）
【答案】C
【分析】先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出
该同学在第二次应计算的函数值.
【详解】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．
【点睛】本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.
3．已知命题 R，，则
A．R, B．R,
C．R, D．R,
【答案】C
【详解】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数单调性可求得，进而得到结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数的单调性确定临界值，从而得到大小关系.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．
C．和D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式判断出在上单调递增，且，再由函数奇偶性即可判断函数在定义域内的单调性.
【详解】因为时，，所以在上单调递增，且，
又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增，
所以数在上都是单调递增.
故选：B
7．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.
【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，
为方程的根，，
则不等式可化为，即，
不等式的解集为．
故选: A．
8．已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.
【详解】令，
因为，当时，总有，即，
即，当时，总有，
所以在上递增，又因为，
所以，，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
二、多选题
9．下列各组函数是相同函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BC
【分析】AD选项，两函数定义域不同，BC选项，两函数定义域和对应法则均相同
【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，
两函数不是同一函数，A错误；
B选项，，故两函数定义域相同，对应法则相同，为同一函数，B正确；
C选项，令，解得，的定义域为，
令，解得，的定义域为，
又，
故两函数定义域相同，对应法则相同，为同一函数，C正确；
D选项，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数，D错误.
故选：BC
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若幂函数的图像过点，则
B．函数的定义域为，则的定义域为
C．若，，且，则的最大值为
D．函数的零点所在区间可以是
【答案】AC
【分析】利用幂函数的定义判断A，利用抽象函数的定义，结合指数函数的单调性判断B，利用基本不等式判断C，利用零点存在定理，结合对数函数的单调性判断D，从而得解.
【详解】A：设，由题意可知：，故A正确；
B：因为的定义域为，所以，
即的定义域为，由，
因此的定义域为，故B错误；
C：因为，，且，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，故C正确；
D：因为函数在时单调递增，
而，
所以该函数在上没有零点，故D错误.
故选：AC
11．以下运算中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质依次判断选项即可.
【详解】A项：由，，，故A项正确；
B项：由，得，所以：，得：，故B项错误；
C项：，故C项正确.
D项：，故D项正确.
故选：ACD.
12．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数无最大值D．函数在定义域内是增函数
【答案】AC
【分析】由题设所给条件，结合的范围，对进行化简，作出函数图像，根据函数图像对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】由题知，函数中的为任意实数，所以选项A正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，以此类推，作出函数的部分图像，如图所示，
由图知，函数值域为，所以选项B错误，选项C正确；
又由图可知，在定义域上没有单调性，所以选项D错误，
故选：AC.
三、填空题
13．求函数的单调递减区间 ．
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数同增异减得到单调递减区间.
【详解】令，解得或，
的定义域为，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减，可得（）的递减区间即为所求，
即即为所求.
故答案为：
14．函数，的最小值是 .
【答案】
【解析】令，可得，即可求出最小值.
【详解】，
令，，，
则，
当时，.
故答案为：2.
【点睛】本题考查与对数函数复合的二次函数的最值，解题的关键是换元令，得出二次函数求最值.
15．若正实数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】因为正数，满足，所以，即，
所以，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值，则的最大值为．
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数是定义在上的偶函数，则a的值为 ；当时，，若，则m的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得或，可求出m的取值范围是.
【详解】依题意可知，解得；
即当时，，
解不等式可得或，又因为，可得，
当时，可得,
解不等式可得或，又因为,可得；
所以可得或，
解得或，
即m的取值范围是.
故答案为：；
五、解答题
17．已知集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域即可求解；
（2）根据得到即可求解.
【详解】（1）由题意得，所以，
所以；
（2）若，所以，
①当集合不为空集时，，
解得；
②当集合为空集时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
18．(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围？
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的性质将条件转化为在上恒成立，再讨论参数即可求解．
（2）根据对数的性质将条件转化为的值域必须包含，再讨论参数即可求解．
【详解】（1）由函数的定义域为，
则在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）由函数的值域为，
则的值域必须包含，
当时，，不符合题意；
当时，有，解得，
所以实数的取值范围为．
19．已知一次函数满足．
(1)求的解析式．
(2)设函数．若，，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入即可求解；
（2）先求出在上的最小值，再通过，，，得到，在上恒成立，最后通过分离参数转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1）设，则，
所以，解得，，
所以．
（2）由（1）得，
因为在单调递增，
所以当时，的最小值为，
因为，，，
所以，
则，，
即，即恒成立，
因为，
所以，故的取值范围为．
六、应用题
20．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
(1)求收入函数的最小值；
(2)求成本函数的边际函数的最大值；
(3)求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
【答案】(1)48千万元
(2)
(3)（千万元）
【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可.
（2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值.
（3）求出利润函数的解析式，根据二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）∵，，.
∴，当且仅当，即时等号成立.
∴当时，（千万元）.
（2），，.
∴，，.
由函数单调性可知：在，单调递增，
∴当时，.
（3），
∴，，.
当时，即，解得或，
∴当或时，（千万元）.
七、证明题
21．已知函数为上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并加以证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)函数在上的单调递减，证明见解析
(3)解集为.
【分析】（1）根据奇函数性质可得，进而求解；
（2）根据单调性的定义判断并证明即可；
（3）根据指数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为上的奇函数，
所以，即，
此时，，
所以，即函数为奇函数，
所以符合题意.
故.
（2）函数在上的单调递减.证明如下：
由（1）知，.
任取，，且，
则，
因为，，且，
所以，，，
所以，即，
因此函数在上的单调递减.
（3）由（2）知，
由，即，
即，即，
即，即
所以，
所以等式的解集为.
八、问答题
22．已知为奇函数，为偶函数，且.
(1)求及的解析式及定义域；
(2)如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据是奇函数，是偶函数，结合，以取代入上式得到，联立求解；
（2）易得，，设，转化为，，根据时，与有两个交点，转化为函数，在有一个零点求解.
【详解】（1）解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
∵，①
∴令取代入上式得，
即，②
联立①②可得，，
.
（2），，，可得，
∴，.
设，
∴，，
∵当时，与有两个交点，
要使函数有两个零点，
即使得函数，在有一个零点，（时，只有一个零点）
即方程在内只有一个实根，∵，
令，则使即可，∴或.
∴的取值范围.