2023-2024学年河南省郑州市河南省实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省郑州市河南省实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定，，再计算交集得到答案.
【详解】，，故，
，故.
故选：B
2．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】计算，，，得到答案.
【详解】，，，
故.
故选：D
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.
【详解】函数在上单调递增，
，，
故函数零点所在的区间为.
故选：B
4．命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】若是第二象限角或第三象限角，则，举反例得到不必要性，得到答案.
【详解】若是第二象限角或第三象限角，则；
若，取，，此时不是第二象限角或第三象限角；
综上所述：是的充分不必要条件.
故选：C.
5．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为40mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由题意得，经层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，则，两边取对数化简求解即可得答案
【详解】由题意得，经层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，
则，得，
所以，
，
所以，，
得，
因为为正整数，
所以的最小值为8，
故选：D
6．函数的图象大致形状为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】首先判断函数的奇偶性，再判断时，函数值的正负，判断得选项.
【详解】因为，所以，


，
所以函数是偶函数，关于轴对称，排除C，D，
令，则或，解得，而时，，，，此时.故排除A.
故选：B．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．若为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，得到，确定，计算得到答案.
【详解】，故，
故，故，
.
故选：C.
8．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】计算，，计算得到答案.
【详解】，则
.
故.
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】确定为偶函数，A错误，举反例确定不是增函数，D错误，根据奇函数和增函数的定义确定BC正确，得到答案.
【详解】对选项A：定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：定义域为，，
函数为奇函数，和单调递增，故函数单调递增，正确；
对选项C：定义域为，，
函数为奇函数，单调递增，单调递增，
故单调递增，正确；
对选项D：，，函数不是增函数，排除.
故选：BC.
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.
【详解】由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，,
因为，所以是第二象限角，故选项，正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，
因为，故选项正确.
故选：.
11．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断.
【详解】∵，，且，
∴由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
∵，，且，∴，，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
12．已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到；B选项，数形结合得到，，且当时，，此时，B错误；C选项，先得到，从而计算出答案；D选项，求出，从而，利用对勾函数性质得到答案.
【详解】A选项，画出与的图象，
可以看出，A正确；
B选项，令得或，
令得，
故，，
且当时，，此时，B错误；
C选项，由图可得，
令，解得，故，
且当时，，故，
，C正确；
D选项，由图象可知，
故，
则，
因为，所以在上单调递增，
故，所以，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13． = ．
【答案】
【分析】利用诱导公式，即可求解.
【详解】.
故答案为：
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.
【详解】函数的定义域为，
则，则或
则函数的定义域为.
故答案为：
15．已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 .
【答案】
【分析】确定，根据零点个数得到，解得答案.
【详解】，则，函数有且仅有2个不同的零点，
则，解得.
故答案为：
16．已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定单调递增，转化为有两个解，设得到，解得答案.
【详解】当时，在上单调递增，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
故在单调递增，
，，
即有两个解，设，，即有两个不相等的正根，
故，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．化简下列各式：
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算可得；（2）根据诱导公式化简可得.
【详解】（1）
（2）
18．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数单调递增区间；
(3)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据周期确定，代入计算得到答案.
（2）取，解得答案.
（3）确定，根据正弦函数性质计算得到答案.
【详解】（1）的最小正周期为，则，，
，；
（2）取，解得，
故的单调递增区间为；
（3），则，
当，即时，；
当，即时，；
故的最大值为，最小值为.
19．已知一元二次不等式的解集是.
(1)求，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）首先分析题意，是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算可得
（2）首先结合题意，根据c分情况讨论.
【详解】（1）由题知，是方程的一个根，
将代入方程 得，是方程的另外一个根，
由韦达定理得 解得.
（2）把代入不等式整理
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式可化为
方程有两个根1和
1.当,,解不等式得或
2.当时，不等式得
3.当时，解不等式得：或
4.当时，，解不等式得，
综上所述：
当时不等式的解集是
当时，不等式的解集是或
当时，不等式的解集是
当时，不等式的解集是或
当时，不等式的解集是
20．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.
（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以
（2）若，则，
当时，；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
21．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性，并用定义证明.
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据计算，再验证即可.
（2）函数单调递减，设，计算得到证明.
（3）根据函数的奇偶性和单调性得到，解得答案.
【详解】（1）定义域为的函数是奇函数，则，，
，，，函数为奇函数；
（2）函数在上单调递减.
设，则，
，，故，故，
即，故函数在上单调递减.
（3）是定义在上的减函数和奇函数，
，即，即，
，即，解得.
22．定义在上的函数满足：对任意的，都有.
(1)求证：函数是奇函数；
(2)若当时，有，求证：在上是减函数；
(3)在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）计算，取计算得到，得到证明.
（2）设，计算，确定，得到证明.
（3）根据奇函数和单调性确定，变换得到，根据解得答案.
【详解】（1）取，则，即，
取，则，，故函数为奇函数；
（2）设，，
，故，，
且，即，，
故，即，函数在上单调递减，
又在上为奇函数，，故在上是减函数；
（3），，故，即，
不等式对恒成立，故，解得.