2023-2024学年四川省高一上学期选科模拟测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省高一上学期选科模拟测试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案.
【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.
故选:C.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：A
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据a和b的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确.
【详解】由，且知，则，故A错误；
，故B错误；
由得，即，故C错误；
，即，故D正确.
故选：D.
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分母不为零，二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由函数的解析式可得：
故选：B.
5． （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数运算，可得答案.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：B.
6．已知，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用定义法证明在上的单调性.
【详解】函数的定义域为，，故是奇函数；
设，则，
因为，，所以，
即，故在上单调递减.
故选：C.
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，结合分式不等式，可得答案.
【详解】由函数，则不等式可整理为，
因为在上单调递增，所以，解集为.
故选：A.
8．某初创公司自创立以来，部分年份的年利润列表如下：
现有以下模型描述该年利润（单位：千万元）随年份的变化关系：①，②.试从这两个函数模型中选择合适的函数模型，并利用该模型预计公司的年利润首次超过10亿元的年份为（ ）
（参考数据，）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【分析】先根据函数的单调性选择模型，然后解指数函数不等式即可.
【详解】由该公司的年利润列表可知，年利润随年份增加而递增，并且随着增大越来越快，
故选择指数型模型②.
由第二年和第三年的数据知，，故，即.
当时，，，
故预计该公司的年利润首次超过10亿元的年份为13.
故选：D.
二、多选题
9．已知集合，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据交集运算判断A，根据并集运算判断B，根据补集运算判断C，根据交并补的混合运算判断D.
【详解】因为，，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，所以，故C错误；
由于，，故，
又因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．已知命题；命题是减函数；命题函数有两个零点，则（ ）
A．是的充分不必要条件B．是的充分且必要条件
C．是的必要不充分条件D．是的充分且必要条件
【答案】BC
【分析】求出命题、命题分别为真命题时实数的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由函数是减函数得，，即，故是的充要条件，A错误，B正确；
对于命题，由可得，
则直线与函数的图象有两个交点，
当时，作出函数与函数的图象如下图所示：
若使得直线与函数的图象有两个交点，则，解得，
当时，作出函数与函数的图象如下图所示：
因为，此时，直线与函数的图象只有一个交点，不合乎题意，
即，则或，
所以，是的必要不充分条件，故C正确；
是的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：BC.
11．若实数，满足，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由题意，由指数函数单调性判断选项AB，由对数函数单调性判断C，根据中间值法判断D.
【详解】由知，；由知，，即.
由单增知，故A正确；
由知，B正确；
由及单调递增知，故C错误；
由知D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，，则（ ）
A．函数在上的最小值为
B．函数的最小值为
C．函数的所有零点的和是常数
D．若，则
【答案】BC
【分析】举反例判断A，结合偶函数性质利用二次函数求最小值判断B，利用奇函数性质判断C，对于选项D，分离参数，换元，求解函数最值即可求解.
【详解】对于A，当时，函数，无最小值，故A错误；
对于B，对于函数，定义域为，
且，所以为偶函数，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，根据偶函数的对称性知，故B正确；
对于C，函数，定义域为，
且，所以为奇函数，
所以函数为奇函数，则函数的零点之和是0，故C正确；
对于D，根据奇偶性性质知函数为偶函数，
故在恒成立，
即在上恒成立，令，
则在上恒成立，又函数在上单调递减，
故，所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以当幂函数为奇函数时，或；
而幂函数又在上单调递增知，所以，
故答案为：
14．用长为20cm的铁丝围成矩形，则该矩形面积的最大值为 .
【答案】25
【分析】设矩形的长为，宽为，则，从而利用基本不等式求面积最大值.
【详解】设矩形的长为，宽为，则，即，从而面积，
当且仅当取等，即矩形面积的最大值为，
故答案为：25.
15．某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为 元.
【答案】57600
【分析】利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案.
【详解】该公司的月利润.
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，该公司的月利润的最大值为57600元.
故答案为：57600.
16．设函数若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】画出分段函数的图象，将方程因式分解，可以得到或，根据图象交点求a的取值范围.
【详解】函数的图象如图所示，
当时，；当时，.故的值域为.
由得，，
即，或（舍）
则方程有且仅有一个根时，
的取值范围为.
四、解答题
17．设全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合利用交集、补集运算法则即可求得结果；
（2）化为，再利用子集计算即可.
【详解】（1）当时，，所以，
所以.
（2）因为，所以.
当时，，此时成立；
当时，由得：，所以.
综上，的取值范围是.
18．计算下列各式：
(1)（其中，）；
(2).
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质及换底公式求解即可．
【详解】（1）
.
（2）
19．已知函数，其中.
(1)当时，求函数，的最小值；
(2)解关于不等式.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程解之间的关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）当时，函数，.
即，.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故取得最小值2.
（2）由得，，即，
当时，；当时，；当时，.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．已知是定义域在上的奇函数，当时，.
(1)若，求；
(2)若函数在上的最大值为2，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用，求出a的值，再利用奇函数性质求；
（2）根据a的范围分类讨论，根据函数最大值求a.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以，，
因为是奇函数，所以.
（2）当时，，
由是定义在上的奇函数知，
当即时，在上单调递增，，
当即时，在上单调递减，，
由得，
当即时，在上单调递减，在上单调递减增，，
若，即时，，
由得，舍去，
若，即时，，
综上，.
21．已知函数的图象关于原点对称，其中常数.
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意得到函数为奇函数，从而得到，求出的值；
（2）利用定义得函数的单调性，则单调性解不等式即可.
【详解】（1）因为的图象关于原点中心对称，所以是奇函数，
即，，即，
故，即，.
又因为，所以.
此时，其定义域为.
（2）设，则.
当时，，
故.
所以，即，
所以在上是减函数.
由得即.
所以，即，即.
故存在实数，使得成立，且的取值范围是.
22．设函数，.
(1)作出函数的图象；
(2)定义设函数，若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）根据对数函数的性质，结合函数图象变换，可得答案；
（2）利用分类讨论，结合函数性质，可得答案.
【详解】（1）.
故的函数图象如下图：
（2）因为当时，，
此时，，故.
当时，对，，故，此时不满足题意；
当时，函数的对称轴为，故在上单调递增，
故，故此时不满足题意；
当时，的对称轴，，
此时，满足题意；
当时，，在上单调递增，
故当时，，不满足题目题意；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，不满足题目条件.
综上，的取值范围为.
年份
2
3
4
5
年利润（千万元）
1.50
2.25
3.38
5.06