2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一(上)期末数学试卷(含解析)
展开1.设集合A={x|x2−2x≤0},B={x|x>1},则A⋂B=( )
A. [0,+∞)B. [2,+∞)C. [0,2]D. (1,2]
2.命题“∀x≥0,ex≥12x2+x+1”的否定是( )
A. ∀x≥0,ex
A. y=4x+1xB. y=ex−e−xC. y=ex+e−xD. y=x−x21−x
4.函数f(x)=2x+x2−6x−1(x>0)的零点所在大致区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.计算31+lg32+lg5+lg32×lg23×lg2的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.已知α∈[−π2,π2],sinα+csα=−15,则tanα=( )
A. −43B. −34C. 34D. 43
7.若a=(13)23,b=(23)13,c=lg1213,则a,b,c的大小关系为( )
A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. c>a>b
8.设函数f(x)=|3x−2|,x≤27x−1,x>2,若方程f2(x)−af(x)−a+3=0有6个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A. (32,73)B. (2,73)C. (73,3)D. (3,4)
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的是( )
A. f(x)=1与g(x)=(x−1)0
B. f(x)=x与g(x)=4x4
C. f(x)= 2+x⋅ 2−x与g(x)= 4−x2
D. f(x)=(x+1)2与g(t)=t2+2t+1
10.使得命题“∀x∈[−2,1],ax2+2ax<1−3a”为真命题的必要不充分条件是( )
A. a≤16B. a<16C. a≤13D. a<13
11.已知函数f(x)=lg2(2x−ax2),a∈R,则下列说法正确的是( )
A. 若a=1,则函数f(x)的定义域为(0,2)
B. 若a=0,则不等式f(x)<1的解集为(0,1)
C. 若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是(−1,0)
D. 若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是[12,+∞)
12.已知函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x+1)是偶函数,函数y=f(x+2)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x−1,下列结论正确的是( )
A. f(x)的一条对称轴是直线x=1
B. f(x)的一条对称轴是直线x=2
C. 方程f(x)−x=0有3个解
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=−2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.sin52π3= ______ .
14.当x>1时,2x+7x−1的最小值为______ .
15.不等式(13)2x2−1≤33x−4的解集为______ .
16.已知实数a,b满足3a−2+a=12,13b3+lg3b=−12,则3ab3= ______ .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|y= 3−x+lg2( x+2+1)},B={x|2−m≤x≤2m−3}.
(1)p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围;
18.(本小题12分)
已知角α的终边过点(3,−4).
(1)求2sin2α−3sinαcsα−2cs2α的值.
(2)求2sin(π−α)+sin(π2−α)+sin4πcs(3π2−α)+cs(−α)的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+(3−2a)x−6.
(1)当a=1时,试问x为何值时,f(x)的图象在x轴上方;
(2)当a<0时,求f(x)<0的解集.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2a+1)−f(4a)≤0,求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
冕宁灵山寺是国家4A级旅游景区,也是凉山州旅游人气最旺的景区之一.灵山寺有“天下第一灵”、“川南第一山”、“攀西第一寺”之美誉,常年香火鼎盛.每年到灵山寺旅游的游客人数增长得越来越快,经统计发现,灵山寺2021年至2023年的游客人数如下表所示:
根据上述数据,灵山寺的年游客人数y(万人)与年份代码x(注:记2020年的年份代码为x=1,2021年的年份代码为x=2,依此类推)有两个函数模型可供选择:①y=kax(k>0,a>1),②y=m x+n(m>0)
(1)试判断哪个函数模型更合适(不需计算,简述理由即可),并求出该函数模型的函数解析式;
(2)问大约在哪一年,灵山寺的年游客量约是2021年游客量的3倍?(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73,lg2≈0.30,lg3≈0.48)
22.(本小题12分)
已知f(x)=ex+(k−2)e−x
(1)当f(x)是奇函数时,解决以下两个问题:
①求k的值;
②若关于x的不等式mf(x)−f(2x)−2e−2x−10<0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当f(x)是偶函数时,设g(x)=lg2f(x),那么当n为何值时,函数h(x)=[g(x)−1+n]⋅[2n+1−g(x)]+n2−n有零点.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:由x2−2x=x(x−2)≤0解得0≤x≤2,所以A=[0,2],
所以A⋂B=(1,2].
故选:D.
解不等式求得集合A,由此求得A∩B.
本题考查集合的运算,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:依题意,命题“∀x≥0,ex≥12x2+x+1”的否定是“∃x≥0,ex
根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
本题主要考查全称命题的否定,属于基础题.
3.【答案】B
【解析】解:A选项,设f(x)=4x+1x,f(14)=1+4=5,f(12)=2+2=4,f(14)>f(12),
不符合题意,A选项错误.
B选项,设g(x)=ex−e−x(x∈R),g(−x)=e−x−ex=−g(x),
所以g(x)是奇函数,g(x)=ex−1ex在R上单调递增,所以B选项正确.
C选项,设h(x)=ex+e−x(x∈R),h(−x)=e−x+ex=h(x),
所以h(x)是偶函数,不符合题意,C选项错误.
D选项,对于函数y=x−x21−x,由于函数的定义域是{x|x≠1},
所以函数是非奇非偶函数,所以D选项错误.
故选:B.
根据函数的奇偶性、定义域、单调性等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
本题主要考查函数的单调性,属于中档题.
4.【答案】D
【解析】解:由于函数f(x)=2x+x2−6x−1(x>0)在其定义域(0,+∞)上是连续函数,
f(3)=8+9−18−1<0,f(4)=16+16−24−1>0,
∴f(3)⋅f(4)<0,故函数f(x)=2x+x2−6x−1(x>0)的零点所在的大致区间是:(3,4).
故选:D.
先判断函数在其定义域(0,+∞)上是连续函数,f(4)⋅f(3)<0,从而得出结论.
本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】解:31+lg32+lg5+lg32×lg23×lg2=3×2+lg5+lg2lg5×lg5lg2×lg2
=6+lg5+lg2=6+1=7.
故选:C.
根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可.
本题考查对数运算法则、换底公式、对数恒等式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.【答案】A
【解析】解:由题意,α∈[−π2,π2],sinα+csα=−15,
∴csα>0,sinα<0,
(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=125,
解得:2sinαcsα=−2425,
∴sinα−csα=− sin2α+cs2α−2sinαcsα=− 1−(−2425)=−75,
∴解得:sinα=−45csα=35,
∴tanα=sinαcsα=−43,
故选:A.
通过求出sinα,csα的值,即可得出结论.
本题考查的知识要点:同角三角函数关系式的变换,三角函数的值,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
7.【答案】A
【解析】解:由题意可得:lg13a=23,lg13b=13lg1323=13lg132+13,
由lg13a−lg13b=23−(13lg132+13)=13(1+lg32)>0,则lg13a>lg13b,
根据函数y=lg13x在(0,+∞)上单调递减,所以a根据函数y=(23)x在R上单调递减,由(23)13<(13)0=1,则1>b>a,
根据函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增,
由c=lg1213=lg23>lg22=1,则c>b>a.
故选:A.
根据对数运算整理指数式,结合对数函数与指数函数的单调性,利用中间值法,可得答案.
本题考查对数运算整理指数式、对数函数与指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
8.【答案】B
【解析】解:由题设,函数f(x)=|3x−2|,x≤27x−1,x>2的图象如下图示,
令t=f(x),要使原方程有6个不同的实数解,则t2−at−a+3=0有两个不同实根t1,t2且t1
画出f(x)草图,根据已知,令t=f(x),数形结合判断g(t)=t2−at−a+3的零点分布区间,再由二次函数性质列不等式组求参数范围.
本题主要考查函数的零点与转化能力,考查数形结合思想的应用,考查计算能力,属于中档题.
9.【答案】CD
【解析】解:A.f(x)的定义域是R,g(x)的定义域为{x|x≠1},定义域不同,这两个函数不是同一函数;
B.f(x)=x,g(x)=|x|,解析式不同,不是同一函数;
C.f(x)= 2+x⋅ 2−x= 4−x2的定义域为[−2,2],g(x)= 4−x2的定义域为[−2,2],定义域和解析式都相同,是同一函数;
D.f(x)=x2+2x+1,g(t)=t2+2t+1的定义域都是R,解析式也相同,是同一函数.
故选:CD.
判断每个选项的两函数的定义域和解析式是否都相同,都相同的为同一函数,否则不是.
本题考查了函数的定义,函数的解析式和定义域都相同的为同一函数,是基础题.
10.【答案】ACD
【解析】解:由命题“∀x∈[−2,1],ax2+2ax<1−3a”为真命题等价于ax2+2ax<1−3a在x∈[−2,1]上恒成立,
即a(x2+2x+3)<1,因x2+2x+3=(x+1)2+2>0,故有:a<1x2+2x+3在x∈[−2,1]上恒成立,
设f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,因x∈[−2,1],故得:2≤x2+2x+3≤6,则16≤1x2+2x+3≤12,即得:a<16,
依题意,(−∞,16)应是正确选项的真子集,而符合要求的包括A,C,D三个选项.
故选:ACD.
判断充分必要条件,一般先求出原命题的充要条件,如此题中,“∀x∈[−2,1],ax2+2ax<1−3a”为真命题的充要条件是a<16,然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可.
本题考查必要不充分条件的应用,属于基础题.
11.【答案】AB
【解析】解:对于A中,若a=1,可得f(x)=lg2(2x−x2),则满足2x−x2>0,
即x(x−2)<0,解得0
由不等式f(x)<1,可得lg2x<0,解得0
对于C中,若函数f(x)的值域为R,令g(x)=2x−ax2,且g(0)=0,
只需(0,+∞)是g(x)值域的子集,则a=0时g(x)=2x满足,
a<0时g(x)=x(2−ax)开口向上且存在零点,满足,
所以实数a的取值范围为(−∞,0],所以C错误;
对于D中,函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数,
当a=0时,f(x)=lg2(2x)=1+lg2x,此时函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数,
所以D不正确.
故选:AB.
由2x−x2>0,求得函数f(x)的定义域,可判定A正确;由f(x)=1+lg2x,结合对数的运算,求得f(x)<1的解集,可判定B正确;令g(x)=2x−ax2,结合题意,列出不等式(组),可判定C错误;结合复合函数的单调性的判定方法,可判定D不正确.
本题主要考查对数函数的性质,属于中档题.
12.【答案】AC
【解析】解:函数y=f(x+1)是偶函数,所以f(x)关于直线x=1对称,A选项正确.
由于函数y=f(x+2)是奇函数,所以f(x)关于(2,0)对称,B选项错误.
则f(x)关于(0,0)对称,f(x)是奇函数,
由于f(x+4)=f(1+x+3)=f(1−(x+3))=f(−x−2)=−f(x+2)=−f(1+(1+x))
=−f(1−(1+x))=−f(−x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.
当x∈[0,1]时,f(x)=2x−1,
由f(x)的周期性可知,两个函数有3个交点,
则f(x)−x=0有3个解,C选项正确.
f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(2+1)=−f(2−1)=−f(1)=−1,
f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=f(1)+f(2)+f(3)=0,所以D选项错误.
故选:AC.
根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
本题主要考查了函数的奇偶性,对称性,周期性的综合应用,属于中档题.
13.【答案】− 32
【解析】解:sin52π3=sin(17π+π3)=−sinπ3=− 32.
故答案为:− 32.
利用诱导公式求得正确答案.
本题考查诱导公式的应用,属于基础题.
14.【答案】2 14+2
【解析】解:由x>1,可知x−1>0,
所以2x+7x−1=2(x−1)+7x−1+2≥2 2(x−1)⋅7x−1+2=2 14+2,
当且仅当2(x−1)=7x−1,(x−1)2=72,x=1+ 142时等号成立.
故答案为:2 14+2.
根据题意,以x−1为单位,利用基本不等式求最小值,即可得到本题的答案.
本题主要考查不等式的基本性质、利用基本不等式求函数的最值等知识,考查了计算能力,属于基础题.
15.【答案】(−∞,−52]∪[1,+∞)
【解析】解:依题意,(13)2x2−1≤33x−4,即31−2x2≤33x−4.
由于y=3x在R上单调递增,所以1−2x2≤3x−4,
即2x2+3x−5=(x−1)(2x+5)≥0,
解得x≤−52或x≥1,所以不等式的解集为(−∞,−52]∪[1,+∞).
故答案为:(−∞,−52]∪[1,+∞).
由题意,根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.
本题主要考查指数函数的单调性,指数不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.
16.【答案】9
【解析】解:由13b3+lg3b=−12,得b3+3lg3b=−32,
即b3+lg3b3=3lg3b3+lg3b3=−32,3lg3b3+lg3b3+32=0,
由3a−2+a=12,得3a−2+a−2=−32,3a−2+a−2+32=0,
构造函数f(x)=3x+x+32,f(x)在R上单调递增,
所以f(lg3b3)=f(a−2)=0,lg3b3=a−2,
所以3a−2=b3,3ab3=32=9.
故答案为:9.
化简已知条件,通过构造函数法,结合函数的单调性求得正确答案.
本题主要考查代数式的变形,也即化归与转化的数学思想方法.题目所给两个已知条件第一眼看没有什么关系,但是经过转化后可以变换成有规律的形式,从而可构造函数来对问题进行求解,是基础题.
17.【答案】解:(1)对于集合A,
由3−x≥0x+2≥0,解得−2≤x≤3,所以A={x|−2≤x≤3}.
由p是q的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,
故2−m≤−22m−3≥3(且两个等号不同时成立),所以m≥4,
即实数m的取值范围是[4,+∞).
(2)因为A∪B=A,所以B⊆A,
当B=⌀时,2−m>2m−3,所以m<53,满足题意,
当B≠⌀时,m≥53−2≤2−m2m−3≤3,解得53≤m≤3,
综上,实数m的取值范围为(−∞,3].
【解析】(1)先求得集合A,B然后根据充分不必要条件列不等式来求得m的取值范围.
(2)根据A∪B=A,对B是否为空集进行分类讨论,由此列不等式来求得m的取值范围.
本题考查对数运算法则、充分不必要条件等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
18.【答案】解:(1)由题可得tanα=−43,
所以2sin2α−3sinαcsα−2cs2α=2sin2α−3sinαcsα−2cs2αsin2α+cs2α=2tan2α−3tanα−2tan2α+1=2×(−43)2−3×(−43)−2(−43)2+1=2.
(2)2sin(π−α)+sin(π2−α)+sin4πcs(3π2−α)+cs(−α)=2sinα+csα−sinα+csα=2tanα+1−tanα+1=2×(−43)+143+1=−57.
【解析】(1)根据“1的代换”的方法以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
(2)根据诱导公式,结合齐次式法求得正确答案.
本题考查诱导公式的应用,属于基础题.
19.【答案】解:(1)由f(x)的图象在x轴上方,
可得f(x)>0恒成立,即x2+x−6>0,
解得x<−3或x>2,
即{x|x<−3或x>2};
(2)由f(x)<0,即ax2+(3−2a)x−6<0,a<0,
可得(x+3a)(x+2)>0,
可得方程ax2+(3−2a)x−6=0的根为x1=2,x2=−3a.
①当−3a<2时,即a<−32,所以不等式的解集为{x|x<−3a或x>2};
②当−3a=2时,即a=−32,所以不等式的解集{x|x≠2};
③当−3a>2时,即−32−3a}.
综上所述:当a<−32时,不等式解集为{x|x<−3a或x>2};
当a=−32时,不等式的解集为{x|x≠2};
当−32−3a}.
【解析】(1)由题意可得f(x)>0,求出不等式的解集即可;
(2)结合方程的根的大小,分类讨论可得解集.
本题考查分类讨论的思想及二次不等式的解集的求法,属于基础题.
20.【答案】解:(1)依题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,
当x=0时,f(x)=0,
当x<0时,−x>0,f(x)=x2−2x=x2−2x,
又f(x)是奇函数,∴f(x)=−f(−x)=−x2+2x,
∴f(x)的解析式为f(x)=x2+2x,x>00,x=0−x2+2x,x<0.
(2)由f(2a+1)−f(4a)≤0可得f(2a+1)≤f(4a),
又由(1)中解析式可知f(x)在R上是单调增函数,
∴2a+1≤4a,即(2a)2−2⋅2a=2a(2a−2)≥0,∴2a≥2即a≥1,
∴a的取值范围为[1,+∞).
【解析】(1)根据函数的奇偶性求得f(x)的解析式.
(2)根据函数的单调性、奇偶性化简不等式,从而求得a的取值范围.
本题主要考查函数奇偶性的性质,函数解析式的求法,不等式的解法,考查运算求解能力,属于中档题.
21.【答案】解:(1)因为2020年至2021年游客人数增加了6万人,2021年至2022年游客人数增加了9万人,增长速度越来越快,符合指数增长模型,
故函数模型①y=kax(k>0,a>1)更合适,
将(1,12),(2,18)代入,可得ka=12ka2=18,解得a=32,k=8,
所以函数解析式为y=8×(32)x,x∈N*.
(2)2021年的年游客量约为18万人,当灵山寺的游客量约是2021年的3倍时,约是54万人,则8×(32)x=54,所以(32)x=274,
所以x=lg32274=lg274lg32=3lg3−2lg2lg3−lg2≈3×0.48−2×−0.30≈5,
故大约在2024年,灵山寺的年游客量约是2021年的3倍.
【解析】(1)根据增长速度越来越快,符合指数增长模型,得到函数模型①y=kax(k>0,a>1),将(1,12),(2,18)代入,求得a,k的值,即可求解;
(2)根据题意,得到(32)x=274,结合对数的运算公式,即可求解.
本题考查函数模型的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
22.【答案】解:(1)①当f(x)是奇函数时,f(−x)=−f(x),
∴e−x+(k−2)ex=−ex+(2−k)e−x,解得k=1.
②由k=1得f(x)=ex−e−x,则不等式mf(x)−f(2x)−2e−2x−10<0,
可化为m(ex−e−x)−(e2x+e−2x)−10<0,
令μ=ex−e−x,x∈(1,+∞),
因为y=ex为增函数,所以μ=ex−e−x也为增函数,
∴μ=ex−e−x>e−1e>0,
∴m
∴m<(μ+12μ)min,
由对勾函数的性质知,当μ=2 3,y=μ+12μ的最小值为4 3,
∴m<4 3,即实数m的取值范围为(−∞,4 3).
(2)当f(x)是偶函数时,f(−x)=f(x),
∴e−x+(k−2)ex=ex+(k−2)e−x,解得k=3,
∴f(x)=ex+e−x=ex+1ex≥2,
所以g(x)=lg2f(x)≥1,即g(x)−1≥0,
令t=g(x)−1,则t≥0,
则函数h(x)=[g(x)−1+n]⋅[2n+1−g(x)]+n2−n有零点,
转化为关于t的方程(t+n)(2n−t)+n2−n=0在t≥0时有实数根,
即是−t2+nt+3n2−n=0在t≥0时有实数根,
令F(t)=−t2+nt+3n2−n为开口向下的二次函数,
1°当方程F(t)=0在[0,+∞)有两相等实数根时,函数F(t)在[0,+∞)上有一个零点,
∴Δ=0,即13n2−4n=0,解得n=0或n=413,
若n=0时,F(t)=−t2,F(t)的零点为t=0,符合题意,
若n=413,F(t)=−t2+413t−413×13=(t−213)(−t+213),
此时F(t)的零点为t=213,符合题意,
所以n=0或n=413.
2°当方程F(t)=0有—负—非负实数根时,函数F(t)在[0,+∞)上有一个零点,
则Δ=13n2−4n>0t1⋅t2≤0,13n2−4n>0n−3n2≤0,解得n<0或n≥13,
若n=13时,F(t)=−t2+13t,此时F(t)的零点为t=0或t=13,
与F(t)=0有—负—非负实数根矛盾,所以n<0或n>13.
3°当方程F(t)=0有两不等非负实数根时,函数F(t)在[0,+∞)上有两个零点,
所以Δ=13n2−4n>0t1+t2=n>0t1⋅t2=n−3n2≥0,解得413
所以当n≤0或n≥413时,函数h(x)有零点.
【解析】(1)①根据函数的奇偶性列方程,由此求得k;②化简已知不等式,利用换元法、分离常数法,结合对钩函数的知识求得m的取值范围.
(2)根据函数的奇偶性求得k,转化h(x)=0,利用构造函数法,结合二次函数的知识进行分类讨论,从而求得n的范围.
本题考查函数的奇偶性和零点,以及不等式恒成立问题,考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力,属于中档题.年份
2020年
2021年
2022年
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