2023-2024学年四川省部分名校高一上学期联合学业质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省部分名校高一上学期联合学业质量检测数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=−6,0,1,2,6，N={x∣4−x<3}，则M∩N=( )
A. −1,0B. −1,0,1C. 2,6D. 1,2,6
2.“∀x∈N，8x+1是奇数”的否定是
( )
A. ∃x∈N，8x+1不是奇数B. ∀x∈N，8x+1不是奇数
C. ∀x∉N，8x+1不是奇数D. ∃x∈N，8x+1是奇数
3.“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数fx= 17−x+lgx−2的定义域为
( )
A. 2,17B. 2,17C. 2,17D. −∞,2∪2,17
5.已知a=50.1，b=0.21.1，c=ln0.5，则
( )
A. c>b>aB. b>a>cC. a>c>bD. a>b>c
6.已知函数fx=x3+9x+9，若ft=1，则f−t=( )
A. 19B. 17C. 8D. −1
7.函数fx=x3+8,x≤0,lg4x+x−3,x>0的零点个数为
( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.已知fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，fx=x2+x−2，则不等式flgx>0的解集为
( )
A. 110,1∪1,10B. 0,1∪10,+∞
C. −∞,110∪10,+∞D. 110,1∪10,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 集合x∈N∣4x∈N有4个元素
B. 等边三角形是轴对称图形
C. “所有的自然数都不小于零”是全称量词命题
D. 所有奇函数的图象都关于原点对称
10.已知函数fx=ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则函数y=xa+a的大致图象不可能为
( )
A. B.
C. D.
11.溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH=−lgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10−7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如：纯净水)时，溶液呈中性，则下列选项正确的是(参考数据：取lg2=0.3)( )
A. 若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10−2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6
B. 若纯净水的氢离子浓度是海水的101.3倍，则海水的pH是9.1
C. 若某溶液中氢离子的浓度为4×10−3摩尔/升，则该溶液呈酸性
D. 若某个新鲜的鸡蛋蛋白的pH是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为10−8摩尔/升
12.若1<10a<10b<10，则
( )
A. lnabC. ab>baD. aa+2 b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若fx=n2−4n+5xn是幂函数，则n=________．
14.已知正数a，b满足a2+4b2=16，则ab的最大值为________．
15.已知函数fx=3x−60x的零点在区间n,n+1n∈N内，则n=________．
16.已知函数fx=lgmmx2−2x+8(m>0且m≠1)在12,6上是增函数，则m的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)121412+(e−π)0+2−1；
(2)ln1e+lg64+2lg63．
18.(本小题12分)
已知集合M=x|x2<3x+4，N={x|t−3(1)若t=0，求M∪N，∁RN
(2)若M∩N=N，求t的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=12ax+x2满足f(1)=6．
(1)求f(f(2))的值；
(2)试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明．
20.(本小题12分)
小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作1,xx∈N∗天后小钗的国画学习值为fx=(1+a)x(a>0)，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.(参考数据：取,)
(1)求a的值，并写出fx的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？(结果保留整数)
21.(本小题12分)
已知二次函数fx=x2−bx+cc≠0的单调递增区间为2,+∞，且有一个零点为c．
(1)证明：fx+2是偶函数．
(2)若函数gx=fx−mx+1在1,3上有两个零点，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx满足flg2x=x+1．
(1)求fx的解析式；
(2)若对任意的x∈0,+∞，不等式bf2x≥[fx]2恒成立，求b的取值范围，
(3)已知实数m，n，k满足0k时，fm+fn>fk+1恒成立，求a的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】解出集合N，再根据交集含义即可．
解：因为N={x∣x>1}，所以M∩N=2,6．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断．
解：“∀x∈N，8x+1是奇数”的否定是“∃x∈N，8x+1不是奇数”．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据充分条件、必要条件判断即可．
解：“小宋来自四川省”不能推出“小宋来自成都市”，
但“小宋来自成都市”可以推出“小宋来自四川省”．
故“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的必要不充分条件，
故选：B
4.【答案】A
【解析】【分析】根据函数fx的解析式有意义，列出不等式组，即可求解．
解：由函数fx= 17−x+lgx−2有意义，则满足17−x≥0x−2>0，解得2所以函数fx的定义域为2,17．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可．
解：因为a=50.1>50=1，0所以a>b>c．
故选：D
6.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，求得t3+9t=−8，结合f−t=−t3+9t+9，即可求解．
解：由函数fx=x3+9x+9，
因为ft=1，可得t3+9t+9=1，即t3+9t=−8，
则f−t=(−t)3+9−t+9=−t3+9t+9=8+9=17．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】分别讨论x≤0和x>0时，fx的零点个数，再根据题意分析即可得出答案．
解：
当x≤0时，令x3+8=0，解得x=−2.当x>0时，令lg4x+x−3=0，得lg4x=−x+3，因为函数y=lg4x与y=−x+3的图象在0,+∞上有唯一公共点，即fx在0,+∞上有唯一零点，故fx的零点个数为2．
故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性画出fx的大致图象，结合图象来求得不等式flgx>0的解集．
解：根据题意可得fx在0,+∞上单调递增，因为fx是定义在R上的奇函数，
所以fx在−∞,0上单调递增．
令x2+x−2=0，解得x=1或x=−2(舍去)，则f−1=−f1=0．
画出fx的大致图象，则由不等式flgx>0，得−11，
解得11010，
所以不等式flgx>0的解集为110,1∪10,+∞．
故选：D
9.【答案】BCD
【解析】【分析】根据集合描述法的表示判断A，根据轴对称判断B，根据全称命题概念判断C，根据奇函数性质判断D．
解：集合x∈N∣4x∈N=1,2,4，有3个元素，A错误；
等边三角形是轴对称图形，B正确；
“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题，C正确；
所有奇函数的图象都关于原点对称，D正确．
故选：BCD
10.【答案】AD
【解析】【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案．
解：根据题意可得a>1，
y=xa+a的图象是y=xa向上平移a个单位得到的，
结合幂函数的性质可知y=xa(a>1)在(0,+∞)上为单调递增函数，
当a为奇数时，y=xa+a图象如C选项所示；当a为偶数时，y=xa+a图象如B选项所示，
选项A，D不符合题意．
故选：AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】根据题中公式，结合对数的运算性质进行求解即可．
解：胃酸的pH=−lg2.5×10−2=2−lg2.5=1+lg102.5=1+lg4=1+2×0.3=1.6， A正确．
海水的氢离子浓度为10−7101.3=10−8.3摩尔/升，则海水的pH=−lg10−8.3=8.3， B错误．
选项C中溶液的pH=−lg4×10−3=3−lg4=3−2×0.3=2.4<7，溶液呈酸性， C正确．
新鲜的鸡蛋蛋白的pH=−lgH+=8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为10−8摩尔/升，D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合作差法，对选项逐一分析判断即可得解．
解：因为1<10a<10b<10，所以0所以lnab<0，又b−a>0，所以lnab设函数ℎx=ex+e−x，
因为函数y=x+1x在1,+∞上单调递增，
函数y=ex在0,1上单调递增，且1所以ℎx在0,1上单调递增，ℎa<ℎb，
即ea+e−a取a=14，b=12，则ab=1412=12<1214=ba，故 C错误．
a+2 b−b−2 a= a+ b a− b−2 a− b= a− b a+ b−2>0，
则a+2 b>b+2 a，
因为函数y=bx为减函数，所以ba+2 b因为函数y=xa+2 b为增函数，所以aa+2 b故选：ABD．
13.【答案】2
【解析】【分析】根据幂函数的定义列方程来求得n的值．
解：令n2−4n+5=1，得n2−4n+4=0，解得n=2．
故答案为：2
14.【答案】4
【解析】【分析】利用基本不等式求得ab的最大值．
解：因为a2+4b2=16≥2 4a2b2=4ab，所以ab≤4，
当且仅当a=2b=2 2时，等号成立．故ab 的最大值为4．
故答案为：4
15.【答案】2
【解析】【分析】先求出fx在0,+∞上的单调性，然后利用零点存在定理从而求解．
解：因为y=3x在0,+∞上单调递增，y=−60x在0,+∞上单调递增，
所以fx=3x−60x在0,+∞上单调递增，
因为f1=3−60<0，f2=9−30<0，f3=27−20>0，
所以fx 的零点在区间2,3内，故n=2．
故答案为：2．
16.【答案】19,16∪2,+∞
【解析】【分析】根据复合函数的单调性，对m分类讨论，列出不等式组求解即可得解．
解：设函数gx=mx2−2x+8．
当m>1时，函数y=lgmx在0,+∞上单调递增，则gx在12,6上为增函数，
由1m≤12g12=14m−1+8>0，解得m≥2．
当0由1m≥6g6=36m−12+8>0，解得19综上，故m的取值范围为19,16∪2,+∞．
故答案为：19,16∪2,+∞
17.【答案】解：(1)
原式=112+1+12=7；
(2)
原式=−1+lg64+lg69=−1+lg636
=−1+2=1．

【解析】【分析】(1)由指数幂运算直接得答案；
(2)由对数的运算直接得答案．
18.【答案】(1)
解：由不等式x2<3x+4，即(x+1)(x−4)<0，解得−1所以M=x−1当t=0时，可得N=x−3所以M∪N=−3,4，∁RN=−∞,−3∪3,+∞．
(2)
解：由集合M=x−1因为M∩N=N，可得N⊆M，
当N=⌀时，可得t−3≥3−t，解得t≥3；
当N≠⌀时，则满足t−3<3−tt−3≥−13−t≤4，解得2≤t<3，
综上可得，实数t的取值范围为2,+∞．

【解析】【分析】(1)根据题意，得到M=x−1(2)由M∩N=N，得到N⊆M，分N=⌀和N≠⌀，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解．
19.【答案】解：(1)
函数f(x)=12ax+x2，由f(1)=6，得12a+1=6，解得a=1，
因此f(x)=12x+x2，则f(2)=122+4=2，
所以f(f(2))=f2=2．
(2)
函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1=12(x2+x22)−12(x1+x12)(x1+x12)(x2+x22)=12(x2−x1)+12(x22−x12)(x1+x12)(x2+x22)=12(x2−x1)(x2+x1+1)x1x2(x1+1)(x2+1)，
由00，x2+x1+1>0，x1+1>0，x2+1>0，x1x2>0，
因此f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．

【解析】【分析】(1)利用给定的函数解析式及函数值，求出a，再求出函数值即得．
(2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，再利用单调性定义推理得解．
20.【答案】解：(1)
依题意可得f10=1.22，即(1+a)10=1.22，
因为，所以1.0210=1.22，
因为a>0，所以1+a=1.02，
即a=0.02，则fx=1.02xx∈N∗．
(2)
令fx=1.02x=2.89，
得x=×26.80=53.60≈54，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天．

【解析】【分析】(1)由题意可得f10=1.22，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
(2)令fx=1.02x=2.89，结合对数的运算性质求解即可．
21.【答案】(1)
证明：由二次函数fx=x2−bx+cc≠0的单调递增区间为2,+∞,
可得b2=2，解得b=4．
又因为fx有一个零点为c，则fc=c2−4c+c=0，解得c=3或c=0(舍去)，
所以fx=x2−4x+3=(x−2)2−1，
因为f−x+2=x2−1=fx+2，所以fx+2是偶函数．
(2)
解：由(1)可知gx=x2−4x+3−mx+1=x2−4+mx+4，
因为gx在1,3上有两个零点，则满足1<4+m2<3g1=1−m>0g3=−3m+1>0Δ=4+m2−16>0，解得0所以实数m的取值范围为0,13．

【解析】【分析】(1)根据题意，利用二次函数的性质，求得fx=(x−2)2−1，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证；
(2)由(1)得到gx=x2−4+mx+4，根据gx在1,3上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解．
22.【答案】解：(1)
令lg2x=t，得x=2t，则ft=2t+1，
故fx的解析式为fx=2x+1．
(2)
对任意的x∈0,+∞，不等式bf2x≥[fx]2恒成立，
即b22x+1≥2x+12，
因为22x+1>0，所以b≥2x+1222x+1．
设gx=2x+1222x+1=22x+2⋅2x+122x+1=1+2⋅2x22x+1=1+22x+12x，
因为x>0，所以2x>1，0<12x<1，所以2x+12x>2，
则gx=1+22x+12x<1+22=2，
故b≥2，即b的取值范围为2,+∞．
(3)
由0由fm+fn>fk+1，得2m+1+2n+1>2k+1+1，
即2m−k+2n−k>1，2m−k+2n−k≥2 2m−k⋅2n−k，当且仅当m=n时，等号成立．
因为m+n>k，所以2 2m−k⋅2n−k=2⋅2m+n−2k2>2⋅2−k2，
所以2⋅2−k2≥1，即21−k2≥1，1−k2≥0，解得k≤2，
因为0【解析】【分析】(1)换元法求函数解析式即可得解；
(2)分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围；
(3)由题意转化为2m−k+2n−k>1，利用均值不等式分析2m−k+2n−k最小取值，解出k的取值范围即可．