期末考试押题卷（范围：第1~5章）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第一册）

这是一份期末考试押题卷（范围：第1~5章）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第一册），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1B．4C．1或4D．9
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．函数，的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A．B．C．为奇函数D．为偶函数
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数为定义在的增函数，且满足．若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
11．已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．的最小值为
12．若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A．是“学步”函数
B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是
C．若是的“学步”函数，且时，，则时，
D．若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．已知函数且的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 .
14．已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则 .
15．已知函数，函数的零点是 ，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是
16．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集为，集合，．
(1)若，求集合；
(2)请在①“”是“”的充分条件，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若_________，求实数a的取值范围．
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性，并用定义证明.
(3)解不等式.
19．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
20．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的倍.
(1)求函数的解析式；
(2)喷气式飞机起飞时，声音约为，计算喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？
21．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数.
(1)求函数及其最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围．
期末考试押题卷（范围：第1~5章）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对分式不等式、含绝对值不等式求解后结合集合运算即可得.
【详解】由，可得或，即，
由，可得或，
即，所以.
故选：B．
2．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1B．4C．1或4D．9
【答案】C
【分析】根据扇形周长和面积公式进行求解即可.
【详解】设扇形的半径为，圆心角的度数为，
因为扇形的周长是，面积是，
所以有，或，
故选：C
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用定义域关于原点对称，与关系，判断函数的奇偶性.
【详解】A选项：令，则，不具有奇偶性，所以不符合题意；
B选项：令，则，，所以函数为奇函数，但在定义域内不具有单调性，所以不符合题意；
C选项：令，因为定义域不关于坐标原点对称，所以不具有奇偶性，所以不符合题意；
D选项：令，，
即，所以函数为奇函数，又，
所以时，单调递减，时，单调递减，满足题意.
故选：D
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的单调性即可得解.
【详解】，，，
，
故选：C
5．函数，的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】在时，解方程，即可得解.
【详解】当时，由.
若，可得、；
若，可得、.
综上所述，函数在上的零点个数为4.
故选：C.
6．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A．B．C．为奇函数D．为偶函数
【答案】D
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可.
【详解】令，则，，，选项A错误；
令，，则，即，则，选项B错误；
，不是奇函数，选项C错误；
令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；
故选：D．
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图可知，函数是上的奇函数，且，利用排除法求解.
【详解】由图可知，函数是上的奇函数，且，
若，则，不合题意，故A错误；
若，由得，不合题意，故B错误；
若，则，不合题意，故D错误；
故排除ABD，得C正确.
故选：C.
8．已知函数为定义在的增函数，且满足．若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将题设不等式转化为，根据函数的单调性解不等式得出，
通过换元法，构造函数，求出最大值，即可得到实数的取值范围.
【详解】由题意得，
即，
因为，
所以，
，
所以在恒成立，
又因为在为增函数，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，有最大值，
所以，故D项正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数不等号不变，；选项B，，分析和因式的符号即可；选项C，时，不等式不成立；选项D，由，得出：，，两边同乘即可.
【详解】选项A，由，知：，，
由，得，选项A正确；
选项B，由，得，
所以，
又因为，，所以，故，选项B正确；
选项C，当时，不成立，选项C不正确；
选项D，由，得，即，
又因为，，两边同乘，
所以，选项D正确.
故选：ABD.
10．关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
【答案】ABD
【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB，利用图象平移的规则判断选项C，结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.
【详解】依题意，因为
令，，当时，，
所以是函数的一条对称轴，所以选项正确；
（另解：因为，即当时，函数取得最大值，所以是函数的一条对称轴）；
令，，当，
所以是函数的一个对称中心，所以选项正确；
（另解：因为，即是函数的零点，所以是函数的一个对称中心）．
因为，
又将曲线向左平移个单位可得到曲线，所以选项不正确；
因为，
当， 有，则，
得函数的值域为，所以选项正确.
故选：ABD
11．已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．的最小值为
【答案】BC
【分析】利用基本不等式与“1”的妙用，结合指数的运算法则逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B，由，可知，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
对于C，由，可知，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，当等号成文，
由可知，，当且仅当时等号成立，
因为前后两次不等式取等条件不一致，所以，故D错误.
故选：BC.
12．若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A．是“学步”函数
B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是
C．若是的“学步”函数，且时，，则时，
D．若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
【答案】BCD
【分析】A选项，得到，不存在，符合题意；B选项，得到，从而得到充要条件是；C选项，化简得到，，借助时，求解；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1012个零点.
【详解】对于A，是定义在R上的连续函数，且，
不存在，使得，故A错误；
对于B，函数（为非零常数）是定义在R上的连续函数，且，
当时，对于任意的实数x恒成立，
若对任意实数x恒成立，则，解得：，
故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；
对于C，若是的“学步”函数，则，即，
因为时，，
当，，，
又因为，即，即，
所以，故C正确；
对于D，由题意得：，
令得：，所以与异号，即，
由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，
同理可得：在区间上均至少有一个零点，
所以在上至少有1012个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．已知函数且的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 .
【答案】
【分析】先求定点，再求幂函数解析式即可.
【详解】因为的图象恒过定点A，
令，得，此时，所以定点，
设幂函数，则，解得，所以.
故答案为：.
14．已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则 .
【答案】
【分析】根据终边上点的坐标可得，然后再利用余弦两角和公式，从而求解.
【详解】根据终边上点的坐标可得，得：
化简得：
所以：.
故答案为：.
15．已知函数，函数的零点是 ，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是
【答案】 0和-2
【分析】分与两种情况，解方程，求出零点，转化为与交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】当时，令，解得，不合要求，舍去；
当时，令，解得或，满足要求，故函数零点为0和-2；
有三个零点，等价于与有三个交点，
在同一坐标系内，画出的图象及的图象，如下，

故当时，满足与有三个交点，即有三个零点.
故答案为：0和-2，
16．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
【答案】74
【分析】根据题意，建立指数函数模型，然后结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，该指数衰减的学习模型为，
当时，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），可得，即，
所以，因为，
所以，则取.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集为，集合，．
(1)若，求集合；
(2)请在①“”是“”的充分条件，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若_________，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接根据集合的补集以及交集的定义计算即可；
（2）若选①：可知，列出相应的不等式，解得答案；若选②：求出，再根据集合的交集运算，列出相应的不等式，解得答案；若选③，根据集合的并集运算，列出相应的不等式，解得答案.
【详解】（1）由可得，解得或，
即集合或，
由可得，解得，
即集合，
若，则，可得或，
所以或.
（2）若选①：“”是“”的充分条件，则，
即或，
所以或，解得或，
实数a的取值范围或；
若选②：，
所以或，解得或，
实数a的取值范围或；
若选③，若，则，
所以或，解得或，
实数a的取值范围或.
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性，并用定义证明.
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)函数在R上为减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；
（3）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
又，则，所以，
所以，解得；
（2），则函数在R上为减函数，
证明如下：
设，则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
（3）不等式，即，
又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，
即，解得.所以不等式的解集为.
19．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)对称轴为，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）利用降幂升角及辅助角公式，得到，即可得出结果；
（2）根据（1）中结果，再利用的图像与性质即可求出结果；
（3）先求出的值，再结合图像与条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
由，，
所以，的对称轴为，单调递减区间为.
（3）因为，由，得到，即，令，得到，
如图，由对称性，轴右侧函数图像与轴第一个交点为，
又当时，的值域为，所以.
20．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的倍.
(1)求函数的解析式；
(2)喷气式飞机起飞时，声音约为，计算喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出对应声音的声音强度，然后根据条件列出方程组，通过对数运算求解出的值，则的解析式可知；
（2）将两个声音的值分别代入解析式，然后两者作差并结合对数运算求解出对应声音强度的倍数.
【详解】（1）设的声音强度是，的声音强度是，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以；
（2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为，
所以，所以，
所以，
故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的倍.
21．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令进行换元，先解关于t的一元二次不等式，然后再解指数不等式可得；
（2）换元转化为恒成立问题，然后参变分离，利用基本不等式可解.
【详解】（1），
设，得.
当时，，即，
解得，或，即，或
解得或.
故时，不等式的解集为.
（2）当时，，
故，不等式恒成立，等价于恒成立.
由，可得，则.
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，即.
故实数的取值范围为.
22．已知函数.
(1)求函数及其最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)，最小正周期；
(2)递减区间为；
(3).
【分析】（1）由和角余弦公式、二倍角公式化简得，再求出最小正周期即可；
（2）设，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）根据图象平移得，再由正弦函数图象和区间最值个数列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以最小正周期为.
（2）设，由，可得，
而在上递增，在上递减，
所以在上递增，在上递减，
故在区间上的单调减区间为.
（3）由题意,可得，
则，则为奇函数，
由，可得，
要使在区间上至少有100个最大值，则上有50个最大值，
所以，即；
上有50个最大值，则，即，
综上，.