甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

这是一份甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则 ( )
A． B． C． D．
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
B．能被3整除的整数，一定能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
3．抛物线x2＝16y的准线方程是( )
A．x＝eq \f(1,64) B．x＝－eq \f(1,64) C．y＝4 D．y＝－4
4．若双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(7),3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,3)
5．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．右图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米.
A． B． C． D．
7．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A． B．C． D．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的
A． B． C． D．
9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为( )
A． 7 B． 8 C．9 D．10
10．已知双曲线(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
11．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则cs∠F1PF2的值是( )
A． B． C． D．
12．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A、B两点，为抛物线的焦点， ，则＝（ ）
A． B． C ． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数满足，则复数的虚部为_______.
14.已知命题p：x > 0，总有(x＋1)>1.则为 .
15.已知A是双曲线C:的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围 .
16.已知椭圆的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，A、B是椭圆上两点，N(3，1)是线段AB的中点．则直线AB的方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知为实数，命题：点M（1，1）在圆的内部；命题 ：都有．若“∧”为假命题，且“∨”为真命题，求的取值范围．
（本小题12分）
设A、B是抛物线y2＝8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．
（1）求直线AB的斜率；
（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求．
（本小题12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P(4，－eq \r(10))．
求双曲线的方程；
若点M(x1，y1)在双曲线上，求eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))的范围．
（本小题12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1(－eq \r(3)，0)，点M(eq \r(3)，)在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P(1，0)的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB(O是坐标原点)的面积
S＝eq \f(4,5)，求直线AB的方程．
21．（本小题12分）
已知抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点P到y轴的距离等于．
(1) 求p的值；
(2) 是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本小题12分）
已知椭圆的离心率e＝，右焦点为F，过点B（0，－b）和点F的直线与原点的距离为1．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P、Q．若，则实数 λ 的取值范围．
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末试题答案
数 学（文）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．-1 14．使得 15．(1，2) 16.x＋y－4＝0
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知为实数，命题：点M（1，1）在圆的内部；命题 ：都有．若“∧”为假命题，且“∨”为真命题，求的取值范围．
解：由题意得，当真时，，解得，
当真时，则，解得． K]
由题意得，与一真一假，从而
当真假时有 无解；
当假真时有解得．
∴实数的取值范围是． ………………10分
18．（本小题12分）
设A、B是抛物线y2＝8x上的两点，A与B的纵坐标之和为8．
（1）求直线AB的斜率；
（2）若直线AB过抛物线的焦点F，求．
解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2). 又y1＋y2＝8，
则k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝1，直线AB的斜率为1． ………………6分
（2）由题可知F(2，0)，则直线AB的方程为y＝x－2，
代入y2＝8x消去x并整理，得x2－12x+4＝0，
由弦长公式得|AB|＝16． ………………12分
19．（本小题12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P(4，－eq \r(10))．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若点M(x1，y1)在双曲线上，求eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))的范围．
解：(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6．
∴双曲线的方程为x2－y2＝6． ………………6分
(2) 由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，∴c＝2eq \r(3)，
∴F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－x1，－y1)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－x1，－y1)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝x12－12＋yeq \\al(2,1)，
∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴x12＝6＋yeq \\al(2,1)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝2yeq \\al(2,1)－6 ， ∵y12 ， ∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))6． ………………12分
20．（本小题12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1(－eq \r(3)，0)，点M (eq \r(3)，)在椭圆C上．
求椭圆C的标准方程；
过点P(1，0)的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB(O是坐标原点)的面积
S＝eq \f(4,5)，求直线AB的方程．
解： (1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，
因为椭圆的左焦点为F1(－eq \r(3)，0)，设椭圆的右焦点为F2(eq \r(3)，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，
所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1． ………………5分
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4,x＝my＋1，))消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2m,4＋m2),y1·y2＝－\f(3,4＋m2)，))则S＝eq \f(1,2)|OP||y1－y2|＝eq \f(2\r(m2＋3),m2＋4)．
由S＝eq \f(4,5)，解得m2＝1，即m＝±1．
故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求． ……………12分
21．（本小题12分）
已知抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点P到y轴的距离等于．
(1) 求p的值；
(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与抛物线C有两个交点A、B的任一直线，都有
eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由定义抛物线可知p=2． ………………3分
(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4m.))①
又eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0⇔
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0．②
又x＝eq \f(y2,4)，于是不等式②等价于eq \f(yeq \\al(2,1),4)·eq \f(yeq \\al(2,2),4)＋y1y2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)＋\f(yeq \\al(2,2),4)))＋1＜0
即eq \f(（y1y2）2,16)＋y1y2－eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（y1＋y2）2－2y1y2))＋1＜0．③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2．④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，
即3－2eq \r(2)＜m＜3＋2eq \r(2)．
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＜0，且m的取值范围是(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2))． ………………12分
22．（本小题12分）
已知椭圆的离心率e＝，右焦点为F，过点B（0，－b）和点F的直线BF与原点的距离为1．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q．若，求实数λ的取值范围．
解：(1)
∴椭圆的方程为． ………5分
由题可设直线l：y＝k(x＋2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，,y＝kx＋2))消去x得(k2＋1)y2－4ky＝0，所以yQ＝eq \f(4k,k2＋1)，同理yP＝eq \f(4k,2k2＋1)．
又λ＝．
则λ＝．
因为k2>0，所以0<λ<1． ………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
B
C
A
C
D
A
C
B