2023-2024学年河南省驻马店市上蔡县第一初级中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市上蔡县第一初级中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列因式分解错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知，，则等于（ ）
A．1B．72C．D．
5．满足下列条件的，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC和△BAD中，AD交BC于点O，∠1＝∠2，添加下列条件仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）

A．∠C＝∠DB．AD＝BCC．∠3＝∠4D．AC＝BD
7．如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
8．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在中，，．点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若是一个完全平方式，则 ．
12．若，则的值为 ．
13．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了 ．

14．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点．若，，则的度数为 ．
15．如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16．计算：
(1)；
(2)计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，．
(1)在边上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，连接，试说明．
19．如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，D为BC边上一点，把△ABC沿AD折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
20．如图，在中，，是的角平分线，垂直平分，交的延长线于点．求的大小．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值；
（2）当t为何值时，AP＝PB．
22．如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．
(1)求A，B两点的距离；
(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
23．问题发现：如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结．填空：

(1)的度数为___________；
(2)线段之间的数量关系是___________．
拓展探究：
(3)如图②，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】本题考查同底数幂相乘底数不变指数相加，根据求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
2．D
【分析】根据用提取公因式法和公式法进行因式分解即可作答．
【详解】A：用提取公因式法进行因式分解；正确；
B：用平方差公式进行因式分解；正确；
C：用完全平方公式进行因式分解；正确；
D：不能因式分解，错误；
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，熟练地掌握用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
4．C
【分析】先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确求出，是解题的关键．
5．C
【分析】根据三角形内角和的性质以及勾股定理的逆定理对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴
又∵
∴，即，
∴是直角三角形，选项不符题意；
B、由可得，设，
由可得，解得
∴，
∴是直角三角形，选项不符题意；
C、由可得，，，
∵，
∴、、三边构不成三角形，即不是直角三角形，选项符合题意；
D、由可得，由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，选项不符题意；
故选：C
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
6．D
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【详解】由题意得，∠1＝∠2，
A、在△ABC与△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（AAS），故A不符合题意；
B、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）；
故B不符合题意；
C、∵∠3＝∠4，
∴∠CAB＝∠DBA，
在△ABC与△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（ASA），故C不符合题意；
D、在△ABC与△BAD中，
AC＝BD，AB＝BA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD不全等，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△ACD列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴×6×3＋×AC×3＝15，
解得AC＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，熟记性质是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接，
，，

∴，
故选：B．
9．C
【详解】要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，
即3个单位长度，
所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C．
10．C
【分析】证明，可得，，故①正确；再由，可得，故②错误；再证明，可得，故③正确；再由，可得，然后根据，可得，从而得到，故④正确．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
11．1
【分析】根据完全平方式的结构特征求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征是解答的关键．
12．-2
【分析】将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出、的值．
【详解】解：原式可化为，
∴，
解得：，
的值为．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式的乘法是互为逆运算的性质，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键．
13．2
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．25°
【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，进而得出∠ADC的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．
【详解】解：∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADC=35°+30°=65°，
∵∠EPD=90°，
∴∠E的度数为：90°65°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD度数是解题关键．
15．
【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，
则，，，，
是的中点，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小，
，为的中点，
，
又，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．(1)1
(2)
【分析】（1）本题考查了实数的运算法则，熟记“实数的相关运算法则和算术平方根和立方根的定义”是解答本题的关键．
（2）本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．9x-5，
【分析】先计算乘法，再计算加减，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：


当时，原式=
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半画弧，进而问题可求解；
（2）由（1）可得，则有，然后可得，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：如图，由（1）得，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质与判定是解题的关键．
19．重叠部分（阴影部分）的面积为36．
【分析】设，利用轴对称性质得，，，利用勾股定理得.
【详解】解：设，
∵在中，，，，把折叠，使AB落在直线AC上，
∴，，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：．
【点睛】本题考核知识点：轴对称，勾股定理. 解题关键点：熟记轴对称性质和勾股定理.
20．；
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的内外角关系及内角和定理，根据垂直平分得到，从而得到，根据角平分线得到，结合即可得到答案；
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．（1）8；（2）12.5；
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）设AP＝t，利用勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，
∴BC（cm）；
∵△PBC的面积为△ABC面积的一半
∴× 12×(16 - t ) =× × 12 × 16
解得：t = 8
所以当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为8；
（2）设AP＝t，则PC＝16﹣t，
在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，
由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，
即（16﹣t）2+122＝t2，
解得：t＝12.5，
∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．
【点睛】考查了勾股定理，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．(1)两点的距离为米
(2)玻璃廊桥的长为米
【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB的长；
(2)在Rt△ADE中，首先利用勾股定理求出DE的长，再根据面积法求出AF的长即可．
【详解】（1）解：由题意，，
∴在中，．
∵米，米，
∴（米）．
答：两点的距离为米．
（2）∵米，
∴（米）．
∴在中，．
∵米，
∴（米）．
∵，
∴．
∴ （米）．
答：玻璃廊桥的长为米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)
(2)相等
(3)，，理由见解析
【分析】（1）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得结果；
（2）由（1）即可求得两线段间的关系；
（3）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得的度数，再由全等三角形的性质及等腰三角形的判定与性质即可得到三线段的关系．
【详解】（1）解：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
（2），
，
即、间的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（3）解：；
理由如下：
、都是等腰直角三角形，
，，，
即，
在与中，
，
，
；
，，
，，，
，
；
即的度数为．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，其中证明两个三角形全等是关键．