专题27 几何探究以二次函数性质为背景（动点、平移、旋转、折叠）-备战2024年中考数学重难题型（全国通用）

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1.（2021·江苏盐城市·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【分析】
（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．
（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】
（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴
【点睛】
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
2.（2021·江苏常州市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
3.（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．
（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，
①当时，求线段的长；
②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）
【分析】
（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；
（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，
∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，
∴∠BAE=∠FEM，
又∵∠B=∠FME，
∴，
∴FM=BE=，EM=AB=BC，
∴CM=BE=，
∴CF=；
②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，
∴，
∴，即：，
∴CP=，
把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B、G、E三点共线，
又∵AE=AE，
∴，
∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，
∴在中，，即：，
∴DQ=，
∴EQ= DQ+BE=+m=，QP=1--()=，
∴，即：×(1-m)= ×h，
∴=，即m=时，h最大值=；
（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，
∵直线m过AB的中点且垂直AB，
∴直线m的解析式为：x=，
过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，
∴F(1+m，m)，
设AE的解析式为：y=kx+b，
把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，
∴AE的解析式为：y=x+1，
同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，
①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)，
∴y=-(m-m2)=，
②当m＞时，如图，G(，)，N(，)，
∴y=-=，
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键．
4.（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
5.（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】
（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
6.（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可得；
（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；
（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．
【详解】
解：（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）对于二次函数，
当时，，解得或，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
，解得，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
将点代入得：，
解得或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点的坐标为或；
（3）二次函数的顶点坐标为，
设点的坐标为，
，
，解得，
，
则平移后的二次函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，
，
轴，
，
，
由两点之间线段最短得：的最小值为，
由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，
则点的纵坐标与点的纵坐标相等，
即，解得，
则，
，
．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．
7.（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②．
【分析】
（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可；
（2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解．
【详解】
解：（1）当时，，解得，，
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为：．
同理可得直线的函数表达式为：；
（2）①存在．设点的坐标为，其中，
∵点，点的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当时，是菱形，如图所示：
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为，
∴点的坐标为；
当时，是菱形，如图所示：
∴，
解，得，（舍去），
∴点的坐标为，
∴点的坐标为；
综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或；
②由题意可得如图所示：
由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，
∴点，，
∴，
设点，
∵，
∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：，
解得：，
∴直线l的解析式为，
∴联立直线l与直线AC的解析式得：，
解得：，
∴，
∴点，
∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且，
∴点M在点N的上方才有可能，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴由两点距离公式可得．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键．
8.（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．
（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．
①求c的取值范围；
②求的度数；
（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
【分析】
（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可；
（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）联立，
解得或
即：函数上的雁点坐标为和．
（2）① 联立
得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴
∵
∵
∴
② 将代入，得
解得，∴
对于，令
有
解得
∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，
EH=，MH=
∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：
如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB为等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
当时，
∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴或
如图3所示，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为或或
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
9.（2021·湖北中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成．
（1）填空：①当时，______；
②______；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）①10；②；（2）；（3）．
【分析】
（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得；
②先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．
【详解】
解：（1）①，
是等腰直角三角形，
，
由图可知，当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故答案为：10；
②由题意得：当时，，
则，
故答案为：；
（2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所示：
，
，
，
在中，，
，
则当点与点重合时，，
①当时，，，
则；
②当时，
如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
则，
，
，
综上，；
（3）①当时，，
令，解得或（舍去），
在内，随的增大而增大，
当时，；
②当时，，
此二次函数的对称轴为，
则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
则当时，取得最小值，最小值为36，
即在内，都有，
综上，当时，的取值范围为．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
10.（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点的坐标及直线的表达式；
（3）判断的形状，试说明理由；
（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）
【分析】
（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；
（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；
（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．
【详解】
解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点
∴，二次函数表达式可设为：
将，代入得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点为二次函数图像的顶点，
∴，
∴顶点坐标为：，
设直线的函数表达式为，则有：
解之得：
∴直线的函数表达式为
（3）是等腰直角三角形，
过点作于点，易知其坐标为
∵的三个顶点分别是，，，
∴，
且满足
∴是等腰直角三角形
（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：
动点的运动时间为
在上取点，使，
连接，则在和中，
满足：，，
∴，
∴，
从而得：
∴
显然当、、三点共线时，取得最小值，
过点作于点，由于，
且为等腰直角三角形，
则有，，
∴动点的运动时间的最小值为：
．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．